Question

如圖1，P（m，n）是拋物線y=

1

4

x²-1上任意一點，l是過點（0，-2）且與x軸平行的直線，過點P作直線PH⊥l，垂足為H．
【特例探究】
（1）填空，當(dāng)m=0時，OP=

 

，PH=

 

；當(dāng)m=4時，OP=

 

，PH=

 

．
【猜想驗證】
（2）對任意m，n，猜想OP與PH大小關(guān)系，并證明你的猜想．
【拓展應(yīng)用】
（3）如圖2，如果圖1中的拋物線y=

1

4

x²-1變成y=x²-4x+3，直線l變成y=m（m＜-1）．已知拋物線y=x²-4x+3的頂點為M，交x軸于A、B兩點，且B點坐標為（3，0），N是對稱軸上的一點，直線y=m（m＜-1）與對稱軸于點C，若對于拋物線上每一點都有：該點到直線y=m的距離等于該點到點N的距離．
①用含m的代數(shù)式表示MC、MN及GN的長，并寫出相應(yīng)的解答過程；
②求m的值及點N的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理，可得OP的長，根據(jù)點到直線的距離，可得可得PH的長；
（2）根據(jù)圖象上的點滿足函數(shù)解析式，可得點的坐標，根據(jù)勾股定理，可得PO的長，根據(jù)點到直線的距離，可得PH的長；
（3）①根據(jù)該點到直線y=m的距離等于該點到點N的距離，可得CM=MN，根據(jù)線段的和差，可得GN的長；
②對于拋物線上每一點都有：該點到直線y=m的距離等于該點到點N的距離，可得方程，根據(jù)解方程，可得m的值，再根據(jù)線段的和差，可得GN的長．

解答：解：（1）當(dāng)m=0時，P（0，-1），OP=1，PH=-1-（-2）=1；
當(dāng)m=4時，y=3，P（4，3），OP=

42+32

=5，PH=3-（-2）=3+2=5，
故答案為：1，1，5，5；
（2）猜想：OP=PH，
證明：PH交x軸與點Q，
∵P在y=

1

4

x²-1上，
∴設(shè)P（m，

1

4

m²-1），PQ=|

1

4

x²-1|，OQ=|m|，
∵△OPQ是直角三角形，
∴OP=

PQ2+OQ2

=

( 1 4 m2-1)2+m2

=

( 1 4 m2+1)2

=

1

4

m²+1，
PH=y_p-（-2）=（

1

4

m²-1）-（-2）=

1

4

m²+1
OP=PH．
（3）①CM=MN=-m-1，GN=2+m，
理由如下：對于拋物線上每一點都有：該點到直線y=m的距離等于該點到點N的距離，
M（2，-1），即CM=MN=-m-1．
GN=CG-CM-MN=-m-2（-m-1）=2+m．
②點B的坐標是（3，0），BG=1，GN=2+m．
由勾股定理，得BN=

BG2+GN2

=

12+(2+m)2

，
對于拋物線上每一點都有：該點到直線y=m的距離等于該點到點N的距離，得
即1+（2+m）²=（-m）²．
解得m=-

5

4

．
由GN=2+m=2-

5

4

=

3

4

，即N（2，-

3

4

），
∴m=-

5

4

，N點的坐標是（2，-

3

4

）．

點評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用了勾股定理，點到直線的距離，線段中點的性質(zhì)，線段的和差，利用的知識點較多，題目稍有難度．