Question

20．如圖所示，在△ABC中，AB=AC，∠EAC和∠FCA均是△ABC的外角，BD平分∠ABC，AD平分∠EAC，CD平分∠ACF，現(xiàn)有以下結論：①AD∥BC；②∠ADC+∠ABD=90°；③∠BDC=$\frac{1}{2}$∠BAC，其中正確的結論有①②③．

Answer 1

分析 ①由AD平分△ABC的外角∠EAC，求出∠EAD=∠DAC，由三角形外角得∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，得出∠EAD=∠ABC，利用同位角相等兩直線平行得出結論正確；
②在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，利用角的關系得∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，得出結論∠ADC=90°-∠ABD；
③由AD∥BC，得出∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC，∠ABC=2∠ADB，得出結論∠ACB=2∠ADB．

解答 解：①∵AD平分△ABC的外角∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC，
∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，
∴∠EAD=∠ABC，
∴AD∥BC，
故①正確．
②在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，
∵CD平分△ABC的外角∠ACF，
∴∠ACD=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB
∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，
∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，
∴∠ADC+∠ABD=90°
故②正確．
③由（1）可知AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABC=2∠ADB，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ACB=2∠ADB，
∴∠BDC=∠DCF-∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ACF-$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$（∠ACF-∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠BAC，
故③正確．
故答案為：①②③．

點評 本題主要考查了三角形的內角和，平行線的判定和性質，三角形外角的性質等知識，解題的關鍵是正確找各角的關系．