Question

如圖，△ABC內接于⊙O，AD是邊BC上的高，AE是⊙O的直徑，連BE．
（1）求證：△ABE與△ADC相似；
（2）若AB=2BE=4DC=8，求△ADC的面積．

Answer 1

（1）證明：∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ABE=90°，
∵AD是邊BC上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠ABE，
∵∠E與∠C均是所對的圓周角，
∴∠E=∠C，
∴△ABE∽△ADC；

（2）解：由（1）知△ABE∽△ADC，
∴，
∴AD=4，
∴△ADC的面積=4．
分析：（1）由AE是⊙O的直徑，可得∠ABE=90°，由高可得∠ADC=90°，由弧AB所對的圓周角相等得到角相等，可得兩個三角形相似；
（2）由三角形相似可得對應邊成比例，可求出AD的大小，利用三角形面積公式可求得△ADC的面積．
點評：本題考查了相似三角形的判定及性質和三角形外接圓與外心；在三角形與外接圓的題目中要注意運用直徑所對的圓周角是直角及同弧所對的圓周角相等這兩個性質．