Question

如圖所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB=15，AD=20，∠C=30°．點M、N同時以相同的速度分別從點A、點D開始在AB、DA上向點B、點A運動．
（1）設ND的長為x，用x表示出點N到AB的距離；
（2）當五邊形BCDNM面積最小時，請判斷△AMN的形狀．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先表示出AN的長，進而得出∠PAN的度數，利用PN=AN•sin∠PAN=（20-x）得出即可；
（2）首先得出S_△AMN=AM•NP，進而得出其最值，利用S_{五邊形BCDNM}=S_梯形-S_△AMN，得出當x=10時，五邊形BCDNM面積最小，進而得出△AMN的形狀．
解答：解：（1）過點N作BA的垂線NP，交BA的延長線于點P．
由已知得，AM=x，AN=20-x．
∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥DC，AD=BC，
∴∠D=∠C=30°．
∴∠PAN=∠D=30°．
在Rt△APN中，PN=AN•sin∠PAN=（20-x）．
即點N到AB的距離為．

（2）根據（1）S_△AMN=AM•NP=x（20-x）=-+5x．
∵，
∴當x=10時，S_△AMN有最大值．
又∵S_{五邊形BCDNM}=S_梯形-S_△AMN，且S_梯形為定值，
∴當x=10時，五邊形BCDNM面積最小．此時，ND=AM=10，AN=AD-ND=10，
∴AM=AN．
∴當五邊形BCDNM面積最小時，△AMN為等腰三角形．
點評：此題主要考查了等腰梯形的性質以及二次函數最值問題以及等腰三角形的性質等知識，根據二次函數最值得出五邊形BCDNM面積最小時AN、AM的值是解題關鍵．