Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A、B兩點(A在B的左側(cè))，與y軸交于點C(0，4)，頂點為(1，)．

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點D，試在對稱軸上找出點P，使△CDP為等腰三角形，請直接寫出滿足條件的所有點P的坐標(biāo)．

(3)若點E是線段AB上的一個動點(與A、B不重合)，分別連接AC、BC，過點E作EF∥AC交線段BC于點F，連接CE，記△CEF的面積為S，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值及此時E點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵拋物線的頂點為(1，) 　　∴設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y＝a(x－1)2＋　2分 　　∵拋物線與y軸交于點C(0，4)， 　　∴a(0－1)2＋＝4 　　解得a＝－ 　　∴所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y＝－(x－1)2＋　4分 　　(2)解：P1(1，)，P2(1，－)，P3(1，8)，P4(1，)，　8分 　　(3)解：令－(x－1)2＋＝0，解得x1＝－2，x1＝4 　　∴拋物線y＝－(x－1)2＋與x軸的交點為A(－2，0)　C(4，0)　9分 　　過點F作FM⊥OB于點M， 　　∵EF∥AC，∴△BEF∽△BAC，∴＝ 　　又∵OC＝4，AB＝6，∴MF＝×OC＝EB 　　設(shè)E點坐標(biāo)為(x，0)，則EB＝4－x，MF＝(4－x)　10分 　　∴S＝S△BCE－S△BEF＝EB·OC－EB·MF 　�。�EB(OC－MF)＝(4－x)[4－(4－x)] 　�。剑�x2＋x＋＝－(x－1)2＋3 　　∵a＝－＜0，∴S有最大值 　　當(dāng)x＝1時3，S最大值＝3　11分 　　此時點E的坐標(biāo)為(1，0)　12分