Question

如圖，在△ABC中，∠BAC=45°，AH⊥BC于H（H在邊BC上），若BH=1，CH=2，則AH=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：如圖，過(guò)C作⊥AB，垂足為E交AH于F，由∠BAC=45°可以得到CE=AE，再根據(jù)已知條件可以證明△AFE≌△BCE，可以得到AF=BC=3，而∠FCH=∠DAC，又∠CHF=∠AHB=90°，由此可以證明△CHF∽△AHB，所以FH：HB=CH：AH，設(shè)FH長(zhǎng)為x，則可建立關(guān)于x的方程，解方程即可求出FH，AH的長(zhǎng)．

解答：解：如圖，過(guò)C作CE⊥AB，垂足為E交AH于F；
則∠AEF=∠CEB=90°，
∵∠BAC=45°
∴CE=AE，
∵∠B+∠ECB=90°，∠B+∠EAF=90°，
∴∠EAF=∠ECB，
∴△AFE≌△BCE（ASA）
∴AF=BC=BH+CH=3，
又∵∠CHF=∠AHB=90°
∴△CHF∽△AHB
∴FH：BH=CH：AH，
設(shè)FH長(zhǎng)為x
即x：1=2：（x+3）
解得：x=

-3± 17

2

（負(fù)值不合題意，舍去）
∴x=

-3+ 17

2

，即FH=

-3+ 17

2

，
∴AH=AF+FH=3+

-3+ 17

2

=

3+ 17

2

．
答：AH長(zhǎng)為

3+ 17

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形相似的判定和性質(zhì)，并通過(guò)設(shè)未知數(shù)列方程得出答案．