Question

如圖，正方形ABCD中，AE=EF=FB，BG=2CG，DE，DF分別交AG于P、Q，以下說法中，不正確的是

1. A.
   AG⊥FD
2. B.
   AQ：QG=6，7
3. C.
   EP：PD=2：11
4. D.
   S_{四邊形GCDQ}：S_{四邊形BGQF}=17：9

Answer 1

C
分析：先用SAS證明兩個三角形全等，得到對應的角相等，證明A正確．根據兩角對應相等，證明兩三角形相似，分別用含a的式子表示AQ和QG，求出它們的比值，證明B正確．用三角形相似，對應線段的比相等，求出EP：PD的值，證明C不正確．分別用含a的式子表示兩個四邊形的面積，求出它們的比值，證明D正確．
解答：A、∵AD=BA，∠DAF=∠ABC=90°，AF=BG=BC．
∴△DAF≌△ABG，
∴∠DFA=∠AGB，
∵∠AGB+∠BAG=90°，
∴∠BAG+∠DFA=90°，
∴AG⊥FD．所以A正確．
B、設AE=EF=FB=a，則BG=2a，AG=a．
由A可得：△AFQ∽△AGB，
∴=，AQ===．
QG=AG-AQ==．
AQ：QG=：=6：7．所以B正確．
C、如圖1：
延長AG，DC相交于H，則△ABG∽△HCG，
設AE=EF=FB=a，BG=2a，GC=a，得到CH=．
又△AEP∽△HDP，
∴===2：9．
不是2：11．所以C不正確．
D、如圖2：
連接FG，DG．
設AE=EF=FB=a，BG=2a，GC=a，DC=3a，
由△AFQ∽△AGB，得：=，FQ===，
∴DQ=DF-FQ=-=．
S_{四邊形GCDQ}=S_△GCD+S_△GQD=GC•CD+GQ•QD=a•3a+••=．
S_{四邊形BGQF}=S_△FBG+S_△FQG=BG•BF+FQ•GQ=a•2a+••=．
∴S_{四邊形GCDQ}：S_{四邊形BGQF}=：=17：9．所以D正確．
故選C．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，根據正方形的性質可以得到三角形全等或相似，然后用全等或相似的性質進行計算或證明，得到正確的判斷．