Question

如圖，△ABC為等邊三角形．O為BC的中垂線AH上的動點，⊙O經(jīng)過B，C兩點，D為弧上一點，D，A兩點在BC邊異側(cè)，連接AD，BD，CD．
（1）如圖1，若⊙O經(jīng)過點A，求證：BD+CD=AD；
（2）如圖2，圓心O在BD上，若∠BAD=45°；求∠ADB的度數(shù)；
（3）如圖3，若AH=OH，求證：BD²+CD²=AD²．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用圖1，在DA上截取DM=DC，連接MC，由于⊙O經(jīng)過點A，由∠ADC=∠ABC=60°，得出△MDC為等邊三角形，易證△AMC≌△△BDC，可得AM=BD，即可得出結(jié)論，
（2）由點O在BD上，即BD為直徑，可得∠BCD=90°，結(jié)合AH⊥BC，可得AO∥CD，∠OAD=∠ADC，由角的關系可得∠CAD=∠CDA，可得AC=DC，BC=DC，∠BDC=45°，即可求出∠ADB的值．
（3）利用圖3，連接OB，OC，以點C為中心，把△ACD順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BCN，連接DN，則AD=BN，DN=DC，∠ACB=∠DCN=60°，由AH=OH，可得△DCN，△BOC均為等邊三角形，∠BOC=∠CDN=60°，∠BDC=30°，∠BDN=90°，由勾股定理可得BD²+CD²=BN²，即可得出BD²+CD²=AD²．

解答：證明：（1）如圖1，在DA上截取DM=DC，連接MC，

∵⊙O經(jīng)過點A，
∴∠ADC=∠ABC=60°，
∴△MDC為等邊三角形，
∴MC=DC，∠MCD=∠ACB=60°，
∴∠BCD=∠ACM，
又∵∠MAC=∠DBC，AC=BC，
∴△AMC≌△△BDC，
∴AM=BD，
∴BD+CD=AD，
（2）∵點O在BD上，即BD為直徑，
∴∠BCD=90°，
∵AH⊥BC，
∴AO∥CD，
∴∠OAD=∠ADC，
∵∠BAD=45°，
∴∠OAD=∠CAD=15°，
∴∠CAD=∠CDA=15°，
∴AC=DC，
∴BC=DC，
∴∠BDC=45°，
∴∠ADB=30°．
（3）如圖3，連接OB，OC，以點C為中心，把△ACD順時針旋轉(zhuǎn)60°，得到△BCN，連接DN，則AD=BN，DN=DC，∠ACB=∠DCN=60°．

∵AH=OH，
∴△DCN，△BOC均為等邊三角形，∠BOC=∠CDN=60°，
∴∠BDC=30°，
∴∠BDN=90°，
∴BD²+CD²=BN²，
∴BD²+CD²=AD²．

點評：本題主要考查了圓的綜合題，解題的關鍵是正確作出輔助線，利用等邊三角形的性質(zhì)求解．