Question

如圖，E、F分別為正方形ABCD邊BC與CD延長線上的點，且BE=DF，EF分別交線段AC、線段AD于M、N兩點（E不與B、C重合）
（1）若AB=1，E是BC的中點，試求△AEF的面積；
（2）求證：△AEM∽△FCM；
（3）若S_△CEF：S_△AEF=1：2，試CE：CF的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形性質(zhì)得出∠B=∠BAD=∠BCD=∠ADF=90°，AB=AD=BC=1，求出，證△ABE≌△ADF，推出AF=AE=

5

2

，∠FAD=∠EAB，求出∠EAF=90°，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（2）根據(jù)∠BCD=∠EAF=90°推出C、E、A、F四點共圓，推出∠CFE=∠CAE，∠FCA=∠FEA，根據(jù)相似三角形的判定推出即可；
（3）根據(jù)三角形面積比求出AB²=3BE²，求出AB=

3

BE，把CE=AB-BE，CF=AB+BE代入求出即可．

解答：（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BAD=∠BCD=∠ADF=90°，AB=AD=BC=1，
∵E為BC中點，
∴BE=

1

2

BC=

1

2

，
由勾股定理得：AE=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，
在△ABE和△ADF中

BE=DF ∠B=∠ADF AB=AD

∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AF=AE=

5

2

，∠FAD=∠EAB，
∵∠BAD=90°，
∴∠EAF=∠EAD+∠EAB+∠EAD=∠BAD=90°，
∴△AEF的面積是

1

2

×AE×AF=

1

2

×

5

2

×

5

2

=

5

8

．

（2）證明：∵∠BCD=∠EAF=90°，
∴∠BCD+∠EAF=180°，
∴C、E、A、F四點共圓，
∴∠CFE=∠CAE，∠FCA=∠FEA，
∴△AEM∽△FCM．

（3）解：∵S_△CEF：S_△AEF=1：2，
∴2×

1

2

×CE×CF=

1

2

×AE²，
∵AE²=AB²+BE²，CE=BC-BE=AB-BE，CF=CD+DF=AB+BE，
∴AB²+BE²=2（AB-BE）（AB+BE）=2AB²-2BE²，
AB²=3BE²，
AB=

3

BE，
∴

CE

CF

=

AB-BE

AB+BE

=

3 BE-BE

3 BE+BE

=

3 -1

3 +1

=

2- 3

1

，
即CE：CF=（2-

3

）：1．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)進行推理和計算的能力，有一定的難度．