Question

如圖1，已知⊙O₁與⊙O₂相交于點A、B，且半徑分別為2和3．過A任意作⊙O₁中的弦AC，連接CB并延長交⊙O₂于點D，連接AD．
（1）若AC是⊙O₁的直徑（如圖2），求證：AD也是⊙O₂的直徑；
（2）求圖1中的AC與AD的比值是否為定值？若是，請求出這個值；若不是，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵AC是⊙O₁的直，
∴∠ABC=90°．
∴∠ABD=90°．
∴AD是⊙O₂的直徑．

（2）AC與AD的比值是定值
過點A作⊙O₁的直徑AE，連接EB并延長交⊙O₂于點F，
連接AF、CE、DF，
由（1）可知：AF是⊙O₂的直徑，∠ABE=∠ABF=90°，
∵∠CAE=∠CBE，∠DAF=∠DBF，
又∵∠CBE=∠DBF，
∴∠CAE=∠DAF．
∴△CAE∽△DAF．
∴===．
∴AC與AD的比值是定值．
分析：（1）欲證AD也是⊙O₂的直徑；根據直徑所對的圓周角為直角，90°的圓周角所對的弦為直徑，只需證明∠ABD=90°即可．
（2）求圖1中的AC與AD的比值，先過點A作⊙O₁的直徑AE，連接EB并延長交⊙O₂于點F；連接AF、CE、DF，證明△CAE∽△DAF，得出比例關系式即可．
點評：本題考查圓周角的應用能力，熟悉直徑所對的圓周角為直角，90°的圓周角所對的弦為直徑的知識，同時考查了相似三角形的性質．