Question

【題目】對任意一個五位正整數m，如果首位與末位、千位與十位的和均等于9，且百位為0，則稱m為“開學數”．

（1）猜想任意一個“開學數”是否為的倍數，請說明理由；

（2）如果一個正整數a是另一個正整數b的立方，則稱正整數a是立方數．若五位正整數m為“開學數”，記，求滿足是立方數的所有m．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

（1）記五位正整數，根據題意，，設為，為，即可用x、y表示m，對表達式進行因式分解即可得答案；（2）利用（1）中的表達式，根據立方數的定義可確定m的取值范圍，即可得立方數的個數，進而可得對應的“開學數”的個數.

：（1）記五位正整數（其中、、、為到之間的正整數，，），由題意可得：，．設為，為（，為到之間的正整數，），

則可表達為：10000x+1000y+0+10(9-y)+9-x

=9999x+990y+99

=99(101x+10y+1)

根據，的取值范圍，表達式為一個正整數，

故“開學數”是的倍數．

（2）若記，

則記．

根據正整數立方數的定義，，即的立方根是一個正整數．

，根據，的取值范圍，有開學數，，

可見滿足為立方數的是：，，…；對應的“開學數”為：，，…，共計個數．