Question

如果一次函數(shù)y=-x+1的圖象與x軸、y軸分別交于點A點、B點，點M在x軸上，并且使以點A、B、M為頂點的三角形是等腰三角形，那么這樣的點M有（ ）
A．3個
B．4個
C．5個
D．7個

Answer 1

【答案】分析：分別令一次函數(shù)y=-x+1中x=0和y=0求出相應的y與x的值，得到A和B的坐標，進而得到OA與OB的長，利用勾股定理求出AB的長，根據(jù)題意可分4種情況考慮，當BM=BA時，由BO垂直于MA，根據(jù)三線合一得到O為MA的中點，由OA得長得到OM的長，根據(jù)M為x軸負半軸的點寫出此時M的坐標即可；當AB=AM時，由AB的長，得到AM的長，進而由AM-OA得到OM的長，寫出M的坐標即可；當MA=MB時，此時M與原點O重合，寫出M的坐標；當AB=AM時，由AB的長得到AM的長，由OA+AM得到OM的長，寫出M的坐標即可．
解答：解：一次函數(shù)y=-x+1中令x=0，解得y=1；令y=0，解得x=1，
∴A（1，0），B（0，1），即OA=OB=1，
在直角三角形AOB中，根據(jù)勾股定理得：AB=，
分四種情況考慮，如圖所示：
當BM₁=BA時，由BO⊥AM₁，根據(jù)三線合一得到O為M₁A的中點，此時M₁（-1，0）；
當AB=AM₂時，由AB=，得到OM₂=AM₂-OA=-1，此時M₂（1-，0）；
當BA=AM₃時，由AB=，得到AM₃=，則OM₃=OA+AM₃=1+，此時M₃（1+，0）；
當M₄A=M₄B時，此時M₄與原點重合，此時M₄（0，0）．
綜上，這樣的M點有4個．
故選B．
點評：此題考查了等腰三角形的性質，勾股定理，以及一次函數(shù)與坐標軸的交點，利用了數(shù)形結合及分類討論的思想，在分類討論分情況解決數(shù)學問題時，必須認真審題，全面考慮，做到不重不漏，一次分類必須按同標準進行，分出的每一部分不需都是相互獨立的．本題要求學生求出相應線段后，注意根據(jù)點在坐標軸上的位置選擇合適的符號，進而寫出坐標．