Question

3．有一如圖所示的紙片，拱形邊緣呈拋物線形形狀，MN=8米，拋物線頂點(diǎn)到邊MN的距離是8米．點(diǎn)A和點(diǎn)D是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且AD∥BC，過點(diǎn)A作AB⊥BC作DC⊥BC，過點(diǎn)B作DC⊥BC，點(diǎn)B、C在邊MN上．
（1）四邊形ABCD是否可能為正方形？試說明明理由；
（2）試求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最大值．

Answer 1

分析 （1）以MN所在直線為x軸、MN的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，設(shè)OC=a，則CD=-$\frac{1}{2}$a²+8，若四邊形ABCD是正方形，由題意知四邊形ABCD是矩形，則CD=2OC，據(jù)此列出關(guān)于a的方程，解之得出a的值，即可得答案；
（2）設(shè)矩形ABCD的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，OC=a，則CD=-$\frac{1}{2}$a²+8，根據(jù)矩形的周長(zhǎng)公式列出函數(shù)解析式并配方，從而由二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．

解答 解：（1）能成為正方形，
如圖，以MN所在直線為x軸、MN的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，8）、點(diǎn)M（-4，0）、N（4，0），
設(shè)解析式為y=ax²+8，
將點(diǎn)N（4，0）代入得：16a+8=0，
解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x²+8，
∵AD∥BC，AB⊥BC，DC⊥BC，
∴四邊形ABCD是矩形，
若四邊形ABCD是正方形，
則CD=2OC，
設(shè)OC=a，則CD=-$\frac{1}{2}$a²+8，
∴-$\frac{1}{2}$a²+8=2a，
解得：a=-2-2$\sqrt{5}$＜-4（舍），a=-2+2$\sqrt{5}$＜4（符合題意），
故四邊形ABCD可以是正方形．

（2）由（1）知，設(shè)矩形ABCD的周長(zhǎng)為L(zhǎng)，OC=a，則CD=-$\frac{1}{2}$a²+8，
∴L=4a+2（-$\frac{1}{2}$a²+8）=-a²+4a+16=-（a-2）²+20，
故當(dāng)a=2時(shí)，L_最大=20，
答：矩形ABCD的周長(zhǎng)為20．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用和正方形的判定，根據(jù)題意建立合適的平面直角坐標(biāo)系并利用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式、根據(jù)正方形的判定得出關(guān)于a的方程和矩形周長(zhǎng)公式列出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．