Question

【題目】如圖，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，將直角三角板的頂點P在射線OM上移動，兩直角邊分別與OA、OB相交于點C、D，問PC與PD相等嗎？試說明理由．

Answer 1

【答案】PC與PD相等.

【解析】

先過點P作PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F，構造全等三角形：Rt△PCE和Rt△PDF，這兩個三角形已具備兩個條件：90°的角以及PE=PF，只需再證∠EPC=∠FPD，根據已知，兩個角都等于90°減去∠CPF，那么三角形全等就可證．

PC與PD相等．理由如下：

過點P作PE⊥OA于點E，PF⊥OB于點F．

∵OM平分∠AOB，點P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，

∴PE=PF（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）

又∵∠AOB=90°，∠PEO=∠PFO=90°，

∴四邊形OEPF為矩形，

∴∠EPF=90°，

∴∠EPC+∠CPF=90°，

又∵∠CPD=90°，

∴∠CPF+∠FPD=90°，

∴∠EPC=∠FPD=90°-∠CPF．

在△PCE與△PDF中，

∵，

∴△PCE≌△PDF（ASA），

∴PC=PD．