Question

4．如圖，AB是菱形AEBF的對(duì)角線，A（-1，0），B（7，0），P是線段AB上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)A，B），過(guò)A、P兩點(diǎn)的拋物線y₁和過(guò)P、B兩點(diǎn)的拋物線y₂的圖象開(kāi)口均向上，它們的頂點(diǎn)分別為線段AE、BE上的C、D兩點(diǎn)，當(dāng)AE=BE=5時(shí)，這兩個(gè)二次函數(shù)的最小值之和等于-3．

Answer 1

分析 由圖可知，兩個(gè)二次函數(shù)最小值分別為C、D兩點(diǎn)到x軸的距離的相反數(shù)，因此只需求出C、D兩點(diǎn)到x軸的距離即可．過(guò)C、D作x軸的垂線，垂足分別M、N，過(guò)E點(diǎn)作x的垂線，垂足為H，可以證明C、D兩點(diǎn)到x軸的距離之和就等于EH，于是問(wèn)題得到解決．

解答 解：如圖：

過(guò)點(diǎn)C作CM垂直x軸于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作DN垂直x軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)E作EH垂直x軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)C作CG垂EH于點(diǎn)G，連接CP、DP，
由拋物線對(duì)稱(chēng)性可知：CA=CP，DP=DB，
∵AE=EB，
∴CE=PD=BD，
從而易證△CEG與△PDN全等，
∴EG=DN，
顯然CGHM是矩形，
∴CM=GH，
∴EH=CM+DN，
∵A（-1，0），B（7，0），
∴AB=8，
∴AH=HB=4，
∵AE=5，
∴EH=3，
∵C、D均在第四象限，
∴兩個(gè)二次函數(shù)的最小值之和等于-3．

點(diǎn)評(píng) 本題是二次函數(shù)與幾何的綜合，考查了二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性、矩形的判定與性、勾股定理等眾多知識(shí)點(diǎn)，設(shè)計(jì)巧妙，是一道好題，作為一道填空題而言，有一定難度．本題的關(guān)鍵在于將求兩個(gè)二次函數(shù)的最小值之和轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)頂點(diǎn)到x軸的距離之和，體現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．