Question

如圖，已知銳角△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M、N分別是線段BC、DE的中點(diǎn)．
（1）求證：MN⊥DE；
（2）連結(jié)DM，ME，猜想∠A與∠DME之間的關(guān)系，并寫出推理過程；
（3）若將銳角△ABC變?yōu)殁g角△ABC，如圖，上述（1）（2）中的結(jié)論是否都成立？若結(jié)論成立，直接回答，不需證明；若結(jié)論不成立，說明理由．

Answer 1

（1）如圖，連接DM，ME，
∵CD、BE分別是AB、AC邊上的高，M是BC的中點(diǎn)，
∴DM=

1

2

BC，ME=

1

2

BC，
∴DM=ME
又∵N為DE中點(diǎn)，
∴MN⊥DE；

（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵DM=ME=BM=MC，
∴∠BMD+∠CME=（180°-2∠ABC）+（180°-2∠ACB），
=360°-2（∠ABC+∠ACB），
=360°-2（180°-∠A），
=2∠A，
∴∠DME=180°-2∠A；

（3）結(jié)論（1）成立，
結(jié)論（2）不成立，
理由如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵DM=ME=BM=MC，
∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC，
=2（180°-∠A），
=360°-2∠A，
∴∠DME=180°-（360°-2∠A），
=2∠A-180°．