Question

已知二次函數(shù).

（1）求證：不論a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；

（2）設(shè)a ＜0，當(dāng)此函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為時(shí)，求出此二次函數(shù)的解析式；

（3）在滿足第(2)問(wèn)的條件下，若此二次函數(shù)圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，在函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)P，使得△PAB的面積為，若存在求出P點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

 解（1）因?yàn)椤?       ………………1分

所以不論a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn).………………2分

（2）設(shè)x₁、x₂是的兩個(gè)根，

則，                      ………………3分

因兩交點(diǎn)的距離是，所以。

即      變形為     ………………4分

所以       

整理得   

解方程得                         ………………5分

又因?yàn)椋?i>a<0   所以：a=－1                

所以此二次函數(shù)的解析式為      ………………6分

（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，因?yàn)楹瘮?shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離等于，所以   AB=         

所以   S_△PAB=    所以    

即   ，則               ………………7分

時(shí)，，即

解此方程得     =－2或3            ………………8分

當(dāng)時(shí)，，即

解此方程得     =0或1              ………………9分

綜上所述，所以存在這樣的P點(diǎn)，P點(diǎn)坐標(biāo)是(－2,3), (3,3), (0, －3)或(1, －3)。

                                             ………………10分