Question

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-2，0），B（1，3）設(shè)經(jīng)過A，O兩點(diǎn)且頂點(diǎn)C在直線AB上的拋物線為m．
（1）求直線AB和拋物線m的函數(shù)解析式．
（2）若將拋物線m沿射線AB方向平移（頂點(diǎn)C始終在AB上），設(shè)移動(dòng)后的拋物線與x軸的右交點(diǎn)為D．
①在上述移動(dòng)過程中，當(dāng)頂點(diǎn)C在水平方向上移動(dòng)3個(gè)單位長度時(shí)，A與D之間的距離是多少？
②當(dāng)頂點(diǎn)在水平方向移動(dòng)a（a＞0）個(gè)單位長度時(shí)，請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示AD的長．

Answer 1

分析 （1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，根據(jù)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出直線AB的解析式，根據(jù)拋物線過點(diǎn)A、O即可得出拋物線的對(duì)稱軸，由頂點(diǎn)在直線AB上即可找出頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）²+1，根據(jù)點(diǎn)O的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）①根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)以及平移的性質(zhì)可找出平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，4），由此即可得出平移后的拋物線的解析式，令y=0，求出x值，點(diǎn)D橫坐標(biāo)取x中的較大值，再結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得出線段AD的長度；
②根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)以及平移的性質(zhì)可找出平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)（a-1，a+1），由此即可得出平移后的拋物線的解析式，令y=0，求出x值，點(diǎn)D橫坐標(biāo)取x中的較大值，再結(jié)合點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得出線段AD的長度．

解答 解：（1）設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，
則$\left\{\begin{array}{l}{0=-2k+b}\\{3=k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直線AB的解析式為y=x+2．
∵拋物線m經(jīng)過A、O兩點(diǎn)，
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=-1，
∵拋物線頂點(diǎn)在直線AB上，
∴y=-1+2=1，
∴拋物線的頂點(diǎn)C（-1，1）．
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）²+1，
將（0，0）代入y=a（x+1）²+1中，有0=a（0+1）²+1，
解得：a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-（x+1）²+1=-x²-2x．
（2）①根據(jù)題意，頂點(diǎn)在水平方向上向右平移了3個(gè)單位長度，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1+3=2，縱坐標(biāo)為x+2=2+2=4，
∴平移后的拋物線為y=-（x-2）²+4，
當(dāng)y=0時(shí)，有-（x-2）²+4=0，
解得：x₁=0，x₂=4，
∴D（4，0），
∴AD=4-（-2）=6．
②當(dāng)頂點(diǎn)在水平方向上向右平移了a個(gè)單位長度時(shí)，頂點(diǎn)為（a-1，a+1），
∴平移后的拋物線為y=-（x-a+1）²+a+1，
當(dāng)y=0時(shí)，（x-a+1）²=a+1，
解得：x=a-1±$\sqrt{a+1}$，
∴D（a-1+$\sqrt{a+1}$，0），
∴AD=a-1+$\sqrt{a+1}$-（-2）=a+1+$\sqrt{a+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出直線與拋物線的函數(shù)解析式；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)找出平移后拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目是，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵．