Question

4．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，-3），（2，5），（-1，-4）且與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其頂點(diǎn)為P．
（1）試確定此二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)的圖象，指出函數(shù)的增減性，并直接寫出函數(shù)值y＜0時(shí)自變量x的取值范圍．
（3）求△ABP的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，-3），（2，5），（-1，-4），可以求得此二次函數(shù)的解析式；
（2）首先根據(jù)第（1）問中求得的函數(shù)解析式可化為頂點(diǎn)式，從而可以得到頂點(diǎn)P的坐標(biāo)，再令y=0代入求得的函數(shù)解析式可以求得點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而可以得到函數(shù)值y＜0時(shí)自變量x的取值范圍，由頂點(diǎn)P的坐標(biāo)和函數(shù)圖象可以得到函數(shù)的增減性；
（3）由（2）可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，-4），所以AB的長(zhǎng)可求出，△ABP邊AB的高即為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，利用三角形面積公式計(jì)算即可．

解答 解：
（1）設(shè)此二次函數(shù)的解析式為：y=ax²+bx+c，
∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（0，-3），（2，5），（-1，-4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=-4}\\{4a+2b+c=5}\\{a-b+c=-4}\end{array}\right.$，
解得a=1，b=2，c=-3，
∴此二次函數(shù)的解析式是：y=x²+2x-3；
（2）∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，點(diǎn)P為此二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，-4），
當(dāng)x＜-1時(shí)，y隨x的增大而減小；
當(dāng)x＞-1時(shí)，y隨x的增大而增大，
將y=0代入y=x²+2x-3得，x₁=-3，x₂=1，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）
∴函數(shù)值y＜0時(shí)自變量x的取值范圍是：-3＜x＜1；
（3）∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-1，-4），
∴△DEF的面積=$\frac{1}{2}$×4×4=8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的性質(zhì)、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想找出所求問題需要的條件．