Question

如圖，把正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到正方形A′B′CD′（此時，點B′落在對角線AC上，點A′落在CD的延長線上），A′B′交AD于點E，連接AA′，CE．那么下面結(jié)論正確的是（　�。�
①△ADA′≌△CDE；②直線CE是線段AA′的垂直平分線；③△AEA′是等腰三角形；④S_△DEA′=S_△B′EA．

• A、①②③
• B、①③④
• C、②③④
• D、①②③④

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

專題：

分析：根據(jù)正方形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠B′A′C=45°，∠ADC=90°，CB=CB′，CA=CA′，則可判斷△A′DE為等腰直角三角形，于是可根據(jù)“SAS”證明△ADA′≌△CDE，則可對①進行判斷；根據(jù)“HL”可證明t△CB′E≌Rt△CDE，得到∠B′CE=∠DCE，即CE平分∠B′CD，加上CA=CA′，所以根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CE垂直平分AA′，則可對②進行判斷；根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得EA=EA′，則可對③進行判斷；利用△DEA′和△B′EA都是等腰直角三角形，加上EA=EA′，可判斷△DEA′≌△B′EA，于是可對④進行判斷．

解答：解：∵正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到正方形A′B′CD′（此時，點B′落在對角線AC上，點A′落在CD的延長線上），
∴∠B′A′C=45°，∠ADC=90°，CB=CB′，CA=CA′，
∴△A′DE為等腰直角三角形，
∴DA′=DE，
在△ADA′和△CDE中

DA′=DE ∠ADA′=∠CDE AD=CD

，
∴△ADA′≌△CDE（SAS），所以①正確；
∵CB′=CB=CD，
而CE=CE，
∴Rt△CB′E≌Rt△CDE，
∴∠B′CE=∠DCE，
即CE平分∠B′CD，
∵CA=CA′，
∴CE垂直平分AA′，所以②正確；
∴EA=EA′，
∴△AEA′是等腰三角形，所以③正確；
∵△DEA′和△B′EA都是等腰直角三角形，
而EA=EA′，
∴△DEA′≌△B′EA，
∴S_△DEA′=S_△B′EA，所以④正確．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．