Question

【題目】如圖1，已知直線y=kx與拋物線y=交于點(diǎn)A（3，6）．

（1）求直線y=kx的解析式和線段OA的長度；

（2）點(diǎn)P為拋物線第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線PM，交x軸于點(diǎn)M（點(diǎn)M、O不重合），交直線OA于點(diǎn)Q，再過點(diǎn)Q作直線PM的垂線，交y軸于點(diǎn)N．試探究：線段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是，求出這個(gè)定值；如果不是，說明理由；

（3）如圖2，若點(diǎn)B為拋物線上對稱軸右側(cè)的點(diǎn)，點(diǎn)E在線段OA上（與點(diǎn)O、A不重合），點(diǎn)D（m，0）是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠BAE=∠BED=∠AOD．繼續(xù)探究：m在什么范圍時(shí)，符合條件的E點(diǎn)的個(gè)數(shù)分別是1個(gè)、2個(gè)？

Answer 1

【答案】（1）y=2x，OA=，

（2）是一個(gè)定值，，

（3）當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)只有1個(gè)，當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)有2個(gè)。

【解析】（1）把點(diǎn)A（3，6）代入y=kx 得；

∵6=3k，

∴k=2，

∴y=2x．

OA=．

（2）是一個(gè)定值，理由如下：

如答圖1，過點(diǎn)Q作QG⊥y軸于點(diǎn)G，QH⊥x軸于點(diǎn)H．

①當(dāng)QH與QM重合時(shí)，顯然QG與QN重合，

此時(shí)；

②當(dāng)QH與QM不重合時(shí)，

∵QN⊥QM，QG⊥QH

不妨設(shè)點(diǎn)H，G分別在x、y軸的正半軸上，

∴∠MQH=∠GQN，

又∵∠QHM=∠QGN=90°

∴△QHM∽△QGN…（5分），

∴，

當(dāng)點(diǎn)P、Q在拋物線和直線上不同位置時(shí)，同理可得．①①

如答圖2，延長AB交x軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FC⊥OA于點(diǎn)C，過點(diǎn)A作AR⊥x軸于點(diǎn)R

∵∠AOD=∠BAE，

∴AF=OF，

∴OC=AC=OA=

∵∠ARO=∠FCO=90°，∠AOR=∠FOC，

∴△AOR∽△FOC，

∴，

∴OF=，

∴點(diǎn)F（，0），

設(shè)點(diǎn)B（x，），

過點(diǎn)B作BK⊥AR于點(diǎn)K，則△AKB∽△ARF，

∴，

即，

解得x1=6，x2=3（舍去），

∴點(diǎn)B（6，2），

∴BK=6﹣3=3，AK=6﹣2=4，

∴AB=5

（求AB也可采用下面的方法）

設(shè)直線AF為y=kx+b（k≠0）把點(diǎn)A（3，6），點(diǎn)F（，0）代入得

k=，b=10，

∴，

∴，

∴（舍去），，

∴B（6，2），

∴AB=5

在△ABE與△OED中

∵∠BAE=∠BED，

∴∠ABE+∠AEB=∠DEO+∠AEB，

∴∠ABE=∠DEO，

∵∠BAE=∠EOD，

∴△ABE∽△OED.

設(shè)OE=x，則AE=﹣x （），

由△ABE∽△OED得，

∴

∴（）

∴頂點(diǎn)為（，）

如答圖3，

當(dāng)時(shí)，OE=x=，此時(shí)E點(diǎn)有1個(gè)；

當(dāng)時(shí)，任取一個(gè)m的值都對應(yīng)著兩個(gè)x值，此時(shí)E點(diǎn)有2個(gè)．

∴當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)只有1個(gè)

當(dāng)時(shí)，E點(diǎn)有2個(gè)