Question

【題目】如圖1，BD是正方形ABCD的對角線，BC=4，點(diǎn)H是AD邊上的一動(dòng)點(diǎn)，連接CH，作，使得HE=CH，連接AE。

（1）求證：；

（2）如圖2，過點(diǎn)E作EF//AD交對角線BD于點(diǎn)F，試探究：在點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)過程中，EF的長度是否為一個(gè)定值；如果是，請求出EF的長度。

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）EF為定值4

【解析】

（1）根據(jù)CH⊥HE與正方形的內(nèi)角為90°即可證明；

（2）連接FH，作EM⊥AG延長線，可證明四邊形EFHM為矩形，再得到EF=HM=DC即可求解.

（1）∵CH⊥HE

∴∠CHD+∠AHE=90°，

又∠DCH+∠CHD=90°，

∴

（2）連接FH，作EM⊥AG延長線，

∵EF//AD，FH⊥DA，∴四邊形EFHM為矩形

∴EF=HM

∵CH=HE，，又∠CDH=∠HME=90°，

∴△CDH≌△HME

∴HM=CD，

故EF=CD=4為定值.