Question

已知拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，2），B（0，1）和點(diǎn)C（-1，-

2

3

）．
（1）求拋物線(xiàn)的解析式；
（2）如圖，若拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)為P，點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為M，過(guò)M的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)N（N在對(duì)稱(chēng)軸右邊），交對(duì)稱(chēng)軸于F，若S_△PFN=4S_△PFM，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，在y軸上是否存在點(diǎn)G，使△BMA與△MBG相似？若存在，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線(xiàn)的解析式；
（2）根據(jù)拋物線(xiàn)的解析式，可得拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)，可得M點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)S_△PFN=4S_△PFM，等底，可得NH的長(zhǎng)度，根據(jù)待定系數(shù)法，可得直線(xiàn)MN的解析式，根據(jù)直線(xiàn)的交點(diǎn)，可得答案；
（3）分類(lèi)討論：當(dāng)△AMB∽△MBG時(shí)，當(dāng)△BMA∽△MBG時(shí)，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等，可得BG的長(zhǎng)，根據(jù)線(xiàn)段的和差，可得答案．

解答：解：（1）由題得c=1，
∵拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)A（3，2）和點(diǎn)C(-1，-

2

3

)
∴

9a+3b+1=2 a-b+1=- 2 3

∴

a=- 1 3 b= 4 3

∴y=-

1

3

x2+

4

3

x+1

（2）∵y=-

1

3

x2+

4

3

x+1=-

1

3

(x-2)2+

7

3

∴P(2，

7

3

)∴拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x=2，
∵A與M關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)
∴M（1，2），ME=1
過(guò)點(diǎn)N作NH⊥PF于點(diǎn)H
∵S_△PFN=4S_△PFM
∴ME=

1

4

NH
∴NH=4
∴N（6，-3）．
可求直線(xiàn)MN：y=-x+3
∴F（2，1）

（3）∵B（0，1），M（1，2），延長(zhǎng)AM交y軸于點(diǎn)D，則D（0，2），
∴∠DBM=∠DMB=45°，BM=

BD2+DM2

=

12+12

=

2

∴∠AMB=135°，
∵△BMA與△MBG相似
∴點(diǎn)B與點(diǎn)M對(duì)應(yīng)，點(diǎn)G只能在點(diǎn)B下方．
設(shè)G（0，y）
①當(dāng)△AMB∽△MBG時(shí)，
∴

AM

MB

=

MB

BG

2

2

=

2

BG

∴BG=1
∴G（0，0）
②當(dāng)△BMA∽△MBG時(shí)，
∴

BM

MB

=

MA

BG

2

2

=

2

BG

∴BG=2
∴G（0，-1）
綜上所述，滿(mǎn)足要求的點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，0）或（0，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，（1）待定系數(shù)法是求二次函數(shù)解析式的關(guān)鍵；（2）等底面積的關(guān)系，得出高的關(guān)系，先求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，再求出直線(xiàn)MN，最后求出兩直線(xiàn)的交點(diǎn)；（3）分類(lèi)討論，對(duì)應(yīng)邊的比相等是解題關(guān)鍵．