Question

11．如圖，分別以△ABC的邊AB，AC為一邊在三角形外作正方形ABEF和ACGH，M為FH上的中點，求證：MA⊥BC．

Answer 1

分析 延長AM到N使MN=AM，如圖，先證明△AMF≌△NMB得到∠MAF=∠N，AF=NH，再證明∠BAC=∠AHN，接著證明△ABC≌△HNA得到∠ACB=∠HAN，然后證明∠ADC=90°，從而得到結論．

解答 證明：延長AM到N使MN=AM，如圖，
∵M為FH上的中點，
∴FM=HM，
在△AMF和△NMB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=NM}\\{∠AMF=∠NMH}\\{FM=HM}\end{array}\right.$，
∴△AMF≌△NMB，
∴∠MAF=∠N，AF=NH，
∵四邊形ABEF和四邊形ACGH為正方形，
∴AB=AF，AC=AH，∠BAF=∠CAH=90°，
∴∠FAH+∠BAC=180°，HN=AB，
∴∠N+∠NAH+∠BAC=180°，
∵∠N+∠NAH+∠AHN=180°，
∴∠BAC=∠AHN，
在△ABC和△HNA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=HN}\\{∠BAC=∠BHA}\\{AC=HA}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△HNA，
∴∠ACB=∠HAN，
∵∠HAN+∠CAD=90°，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質：全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．解決本題的關鍵是構造△AHN與△CBA全等．