Question

【題目】已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一個動點，過C作CE垂直于BD或BD的延長線，垂足為E，如圖．
（1）若BD是AC的中線，求 的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分線，求 的值；
（3）結合（1）、（2），試推斷 的取值范圍（直接寫出結論，不必證明），并探究 的值能小于 嗎？若能，求出滿足條件的D點的位置；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設CD=AD=a，則AB=AC=2a．

在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD= a，

∵∠A=∠E=90°，∠ADB=∠EDC，

∴△BAD∽△CED，

∴ = ，

∴ = ，

解得：CE= ，

∴ = =

（2）解：過點D作DF⊥BC于F，

∵BD是∠ABC的平分線，

∴AD=DF，

∵在Rt△ABC中，cos∠ABC= = ，

在Rt△CDF中，sin∠DCF= = ，

即 = ，

∴ = ，

即 = ，

∴CD=2（2﹣ ）a，

∴AD=AC﹣CD=2a﹣2（2﹣ ）a=2（ ﹣1）a，

∴BD2=AD2+AB2=8（2﹣ ）a2，

∵Rt△ABD∽Rt△CED，

∴CE= = a2．

∴ = = =2

（3）解：當D在A點時， =1，

當D越來越接近C時， 越來越接近無窮大，

∴ 的取值范圍是 ≥1．

設AB=AC=1，CD=x，AD=1﹣x，

在Rt△ABD中，BD2=12+（1﹣x）2，

又∵Rt△ABD∽Rt△ECD，

∴ ，即 = ，

解得：CE= ，

若 ，則有3x2﹣10x+6=0，

∵0＜x≤1，

∴解得

∴ ，

表明隨著點D從A向C移動時，BD逐漸增大，而CE逐漸減小， 的值則隨著D從A向C移動而逐漸增大，

∴探究 的值能小于 ，此時AD=

【解析】先設AB=AC=2a，CD=a，則BC= a，AD=a．求出BD，又求得Rt△ABD∽Rt△ECD，（1）BD是AC的中線，則CD=AD=x= ，則解得；（2）BD是∠ABC的角平分線，則求得x，y值；（3）由以上兩個問題，從 的比值求得x的值，則求得 的值．
【考點精析】掌握等腰直角三角形和勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．