Question

15．如圖，平行四邊形ABCD中，AB=5，BC=10，BC邊上的高AM=4，E為BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合）．過E作直線AB的垂線，垂足為F．FE與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△BEF和△CEG的周長(zhǎng)之和是不是定值？如果是定值，求出這個(gè)值；如果不是，請(qǐng)說明你的理由．

Answer 1

分析 過點(diǎn)C作FG的平行線交直線AB于H，證得四邊形FHCG為矩形．得出FH=CG，F(xiàn)G=CH，所以△BEF與△CEG的周長(zhǎng)之和等于BC+CH+BH，證得Rt△BEF∽R(shí)t△BAM，那么根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{CH}$，即可求得CH=8，然后根據(jù)勾股定理求得BH=6，即可求出兩三角形的周長(zhǎng)和是24．

解答 解：是定值，過點(diǎn)C作FG的平行線交直線AB于H，
因?yàn)镚F⊥AB，所以四邊形FHCG為矩形．
所以FH=CG，F(xiàn)G=CH，
因此，△BEF與△CEG的周長(zhǎng)之和等于BC+CH+BH，
∵∠B=∠B，∠AMB=∠BHC=90°
∴△ABM∽△CBH，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{CH}$，
由BC=10，AB=5，AM=4，
∴CH=$\frac{AM•BC}{AB}$=$\frac{4×10}{5}$=8，
在RT△BCH中，BH=$\sqrt{B{C}^{2}-C{H}^{2}}$=6，
所以BC+CH+BH=24，
所以，△BEF與△CEG的周長(zhǎng)之和為24是定值．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．