Question

已知等腰三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)分別是A（0，1）、B（0，3），第三個(gè)頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上，關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A、D（3，-2）、P三點(diǎn)，且點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在x軸上。

（1）求直線BC的解析式；
（2）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式及點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)M是y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PM+CM的取值范圍。

Answer 1

解：（1）∵A（0，1），B（0，3） ∴AB=2， ∵△ABC是等腰三角形，且點(diǎn)C在x軸的正半軸上， ∴AC=AB=2， ∴OC=， ∴， 設(shè)直線BC的解析式為y=kx+3， ∴， ∴， ∴直線BC的解析式為； （2）∵拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)， ∴b=0， 又拋物線經(jīng)過(guò)A（0，1），D（3，-2）兩點(diǎn)， ∴，解得， ∴拋物線的解析式是， 在Rt△AOC中，OA=1，AC=2，易得∠ACO=30°， 在Rt△BOC中，OB=3，OC=，易得， ∴CA是∠BCO的角平分線， ∴直線BC與x軸關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)， 點(diǎn)P關(guān)于直線AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在x軸上， 則符合條件的點(diǎn)P就是直線BC與拋物線的交點(diǎn)， 點(diǎn)P在直線BC：上， 故設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為， 又點(diǎn)在拋物線上， ∴， 解得， 故所求的點(diǎn)P的坐標(biāo)是； （3）要求PM+CM的取值范圍，可先求PM+CM的最小值； I）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，故PM+CM=2CM 顯然CM的最小值就是點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為， ∵點(diǎn)M是y軸上的動(dòng)點(diǎn)， ∴PM+CM無(wú)最大值， ∴PM+CM≥2， II）當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是時(shí)，由點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)， 故只要求的最小值，顯然線段最短，易求得， ∴的最小值是6， 同理沒(méi)有最大值， ∴的取值范圍是， 綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是時(shí)，， 當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是時(shí)，。