Question

如圖1，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交BC，AC于點E，F(xiàn)，點D在AC的延長線上，且∠CAB=2∠CBD．
（1）求證：DB是⊙O的切線；
（2）如圖2，若AB=BD，F(xiàn)E的延長線與AB的延長線交于點P，求證：2BE²=BP•DC．

Answer 1

考點：切線的判定,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）連結(jié)AE，如圖1利用圓周角定理由AB為直徑得到∠AEB=90°，則AE⊥BC，∠1+∠3=90°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠1=∠2，加上∠CAB=2∠CBD，所以∠1=∠CBD，則∠CBD+∠3=90°，然后根據(jù)切線得判定定理即可得到結(jié)論；
（2）先由AB=DB得到∠BAD=∠D，而∠BEP=∠BAD，則∠BEP=∠D，再由AB=AC得到∠ABC=∠ACB，于是利用等角的補角相等得到∠EBP=∠DCB，則可證明
△BEP∽△CDB，利用相似比得BE•BC=BP•DC，然后把BC=2BE代入即可得到結(jié)論．

解答：證明：（1）連結(jié)AE，如圖1，
∵AB為直徑，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，∠1+∠3=90°，
∵AB=AC，
∴AE平分∠BAC，即∠1=∠2，
∵∠CAB=2∠CBD，
∴∠1=∠CBD，
∴∠CBD+∠3=90°，
∴AB⊥BD，
∴DB是⊙O的切線；
（2）∵AB=DB，
∴∠BAD=∠D，
∵四邊形ABEF為圓的內(nèi)接四邊形，
∴∠BEP=∠BAD，
∴∠BEP=∠D，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EBP=∠DCB，
∴△BEP∽△CDB，
∴

BE

CD

=

BP

BC

，
∴BE•BC=BP•DC，
由（1）得到BE=CE，即BC=2BE，
∴2BE²=BP•DC．

點評：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．