Question

如圖，形如量角器的半圓O的直徑DE=12cm ，形如三角板的△ABC中，∠ACB = 90^。 ，∠ABC=30^。，BC=12cm ，半圓O以2cm/s的速度從左向右運動，在運動過程中，點D、E始終在直線BC上，設運動的時間為t（s），當t=0時，半圓 O在△ABC的左側(cè)，OC=8cm 。
（1）當t為何值時，△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切？
（2）當△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時，如果半圓與直徑DE圍成的區(qū)域與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分，求重疊部分的面積。

Answer 1

(1)①如圖1，當點E與點C重合時，AC⊥OE，OC=OE=6cm，AC與半圓O所在的圓相切，此時點O運動了2cm，所求運動時間為t==1（s）

②如圖2，當點O運動到點C時，過點O作OF⊥AB，垂足為F，在Rt△FOB中，∠FBO=30^。，OB=12cm，則OF=6cm，即OF等于半圓O所在圓的半徑，所以AB與半圓O所在的圓相切，此時點O運動了8cm，所求運動時間為t==4（s）

③如圖3，當點O運動到BC的中點時，ACOD，OC=OD=6cm，所以AC與半圓O所在的圓相切，此時點O運動了14cm，所求運動時間為t==7（s）

④如圖4，當點O運動到B點的右側(cè)，且OB=12cm時，過點O作QO⊥直線AB，垂足為Q，在，∠OBQ=30^。，則OQ=6cm， 即QO等于半圓O所在圓的半徑，所以直線AB與半圓O所在的圓相切，此時點O運動了32cm，所求運動時間為t==16（s）。

因為半圓O在運動中，它所在的圓與AC所在的直線相切只有上述①③兩種情形，與AB所在的直線相切只有上述②④兩種情形，與BC所在的直線始終相交，所以，只有t為1s，4s，7s，16s時，△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切；
（2）當△ABC的一邊所在的直線與半圓O所在的圓相切時，半圓O與直徑DE圍成的區(qū)域與△ABC三邊圍成的區(qū)域有重疊部分的只有如圖2，與圖3所示的兩種情形。
①如圖2，設OA與半圓O的交點為M，易知重疊部分是圓心角為90°，半徑為6cm的扇形，所求重疊部分面積為：S_扇形EOM=×6²=9（cm²）
②如圖3，設AB與半圓O的交點為P，連接OP，過點O作OH⊥AB，垂足為H，則點P到點H的距離PH=BH，在Rt△OBH中， ∠OBH=30^。，OB=6cm，則OH=3cm，BH=3 cm，BP=6 cm，
S_△POB=(cm²)，又因為∠DOP=2∠DBP=60^。，
所以S_扇形ODP=(cm²)。
所求重疊部分面積為：S_△POB + S_扇形ODP =cm²