Question

11．如圖，S_△ABC=1，AM=MC，BP=PQ=QC，求陰影部分的面積．

Answer 1

分析 S_△ABC=1、AM=MC、BP=PQ=QC知S_△ABM=S_△BCM=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$、S_△APQ=S_△ABP=S_△AQC=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{1}{3}$，連接QM，知QM為△ACP的中位線，則AP=2MQ，MQ∥AP，從而得BE=EM、MQ=2EP，設(shè)BE=a，EP=b，則EM=a、MQ=2b、AP=4b，由AE∥MQ知$\frac{EF}{MF}=\frac{AE}{QM}$=$\frac{3b}{2b}=\frac{3}{2}$，從而得出EF=$\frac{3}{5}$a、FG=$\frac{2}{5}a$，則BE：EF：FG=a：$\frac{3}{5}$a：$\frac{2}{5}$a=5：3：2，繼而得出S_△AEF=$\frac{3}{10}$S_△ABM=$\frac{3}{10}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{20}$，根據(jù)S_陰影=S_△APQ-S_△AEF可得答案．

解答 解：∵S_△ABC=1，AM=MC，BP=PQ=QC，
∴S_△ABM=S_△BCM=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$，
S_△APQ=S_△ABP=S_△AQC=$\frac{1}{3}$S_△ABC=$\frac{1}{3}$，
連接QM，

∵PQ=QC，AM=CM，
∴QM為△ACP的中位線，
則AP=2MQ，MQ∥AP．
∵EP∥MQ，
∴$\frac{BE}{EM}=\frac{BP}{PQ}$=1，$\frac{EP}{MQ}=\frac{BP}{BQ}=\frac{1}{2}$，即BE=EM，MQ=2EP，
設(shè)BE=a，EP=b，
則EM=a，MQ=2b，AP=4b，
∴AE=3b，
∵AE∥MQ，
∴$\frac{EF}{MF}=\frac{AE}{QM}$=$\frac{3b}{2b}=\frac{3}{2}$，
∴EF=$\frac{3}{5}$a，F(xiàn)G=$\frac{2}{5}a$，
∴BE：EF：FG=a：$\frac{3}{5}$a：$\frac{2}{5}$a=5：3：2，
∴S_△AEF=$\frac{3}{10}$S_△ABM=$\frac{3}{10}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{20}$，
則S_陰影=S_△APQ-S_△AEF=$\frac{1}{3}$-$\frac{3}{20}$=$\frac{11}{60}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角形的面積即平行線分線段成比例定理，熟練掌握等底共高時(shí)三角形面積間的關(guān)系及平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．