Question

如圖，直線AC∥BD，連接AB，直線AC、BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個部分，規(guī)定：線上各點不屬于任何部分．當(dāng)動點P落在某個部分時，連接PA，PB，構(gòu)成∠PAC，∠APB，∠PBD三個角．（提示：有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是0°角）

（1）當(dāng)動點P落在第①部分時，求證：∠APB=∠PAC+∠PBD；
（2）當(dāng)動點P落在第②部分時，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？請畫出相應(yīng)圖形，說明理由．
（3）當(dāng)動點P落在第③、④部分，且在直線AB右側(cè)時，直接回答∠PAC，∠APB，∠PBD的關(guān)系．

Answer 1

考點：平行線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）延長AP交BD于M，根據(jù)三角形外角性質(zhì)和平行線性質(zhì)得出∠APB=∠AMB+∠PBD，∠PAC=∠AMB，代入求出即可；
（2）過P作EF∥AC，根據(jù)平行線性質(zhì)得出∠PAC+∠APF=180°，∠PBD+∠BPF=180°，即可得出答案；
（3）①當(dāng)動點P在射線BA的右側(cè)且在③時，結(jié)論是∠PBD=∠PBD-∠PAC，②當(dāng)動點P在射線BA的右側(cè)，且在④時，結(jié)論是：∠PAC=∠PAC-∠PBD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)和平行線性質(zhì)求出即可．

解答：解：（1）
延長AP交BD于M，
∵AC∥BD，
∴∠PAC=∠AMB，
∵∠APB=∠AMB+∠PBD，
∴∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）
解：結(jié)論不成立，結(jié)論是：∠APB+∠PAC+∠PBD=360°，
理由是：過P作PM∥AC，
∵AC∥BD，
∴AC∥PM∥BD，
∴∠PAC+∠APM=180°，∠PBD+∠BPM=180°，
∴∠APB+∠PAC+∠PBD=360°，而不能推出∠APB=∠PAC+∠PBD；
（3）解：當(dāng)P在③，且P在直線AB的右邊時，如圖3，結(jié)論是：∠APB=∠PBD-∠PAC，
理由是：延長AP交BD于M，
∵AC∥BD，
∴∠PAC=∠AMB，
∵∠APB=∠PBD-∠AMB，
∴∠APB=∠PBD--∠PAC；
當(dāng)P在④，且P在直線AB的右邊時，如圖4，結(jié)論是：∠APB=∠PAC-∠PBD，
理由是：
∵AC∥BD，
∴∠PAC=∠PMD，
∵∠APB=∠PMD-∠PBD，
∴∠APB=∠PAC-∠PBD．

點評：本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意正確畫出對應(yīng)的圖形，注意：平行線的性質(zhì)是：①兩直線平行，同位角相等，②兩直線平行，內(nèi)錯角相等，③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，難度適中，證明過程類似．