Question

12．如圖，△ABC為等邊三角形，以邊BC為直徑的半圓與邊AB，AC分別交于D，F(xiàn)兩點，過點D作DE⊥AC，垂足為點E．
（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（2）過點E作EH⊥BC，垂足為點H，若AB=4，求EH的長及sin∠DHE的值（結(jié)果保留根號）．

Answer 1

分析 （1）連接OD，由等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，證出△OBD是等邊三角形，得出∠BOD=∠C，因此OD∥AC，由已知條件得出DE⊥OD即可；
（2）連接CD，作DM⊥EH于M，由圓周角定理得出∠BDC=90°，由等邊三角形的性質(zhì)得出AD=$\frac{1}{2}$AB=2，求出AE=$\frac{1}{2}$AD=1，DE=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$，得出CE=AC-AE=3，同理得出EH=$\sqrt{3}$CH=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，EM=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得出DM=$\sqrt{3}$EM=$\frac{3}{2}$，MH=EH-EM=$\sqrt{3}$，由勾股定理求出DH，再由三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)果．

解答 解：（1）DE是⊙O的切線；理由如下：
連接OD，如圖1所示：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AC，∠B=∠C=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等邊三角形，
∴∠BOD=60°，
∴∠BOD=∠C，
∴OD∥AC，
∵DE⊥AC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切線；
（2）連接CD，作DM⊥EH于M，如圖2所示：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB=4，∠A=∠C=60°，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°，即CD⊥AB，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵DE⊥AC，
∴∠ADE=90°-∠A=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=1，DE=$\sqrt{3}$AE=$\sqrt{3}$，
∴CE=AC-AE=3，
∵EH⊥BC，
∴∠CEH=90°-∠C=30°，
∴CH=$\frac{1}{2}$CE=$\frac{3}{2}$，
∴EH=$\sqrt{3}$CH=$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，
∵∠DEH=90°-∠CEH=60°，
∴∠EDM=90°-60°=30°，
∴EM=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DM=$\sqrt{3}$EM=$\frac{3}{2}$，MH=EH-EM=$\sqrt{3}$，
∴DH=$\sqrt{D{M}^{2}+M{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，
∴sin∠DHE=$\frac{DM}{DH}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{21}}{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定、圓周角定理、勾股定理、三角函數(shù)等知識；熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．