Question

如圖1，一次函數y=2x+4與x軸，y軸分別相交于A，B兩點，一次函數圖象與坐標軸圍成的△ABO，我們稱它為此一次函數的坐標三角形．把坐標三角形面積分成相等的二部分的直線叫做坐標三角形的等積線．
（1）求此一次函數的坐標三角形周長以及分別過點A、B的等積線的函數表達式；
（2）如圖2，我們把第一個坐標三角形△ABO記為第一代坐標三角形．第一代坐標三角形的等積線BA₁，AB₁記為第一對等積線，它們交于點O₁，四邊形A₁OB₁O₁稱為第一個坐標四邊形．求點O₁的坐標和坐標四邊形A₁OB₁O₁面積；
（3）如圖3．第一對等積線與坐標軸構成了第二代坐標三角形△BA₁O．△AOB₁分別過點A，B作一條平分△BA₁O，△AOB₁面積的第二對等積線BA₂，AB₂，相交于點O₂，如此進行下去．…，請直接寫出O_n的坐標和第n個坐標四邊形面積（用n表示）．

Answer 1

考點：一次函數綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）令y=0求出x的值，令x=0求出x的值，從而得到點A、B的坐標，再求出OA、OB的長，然后利用勾股定理列式求出AB，再根據三角形的周長公式列式計算即可得解；根據等積線的定義求出A₁、B₁的坐標，然后利用待定系數法求一次函數解析式解答；
（2）聯立兩等積線解析式求解即可得到O₁的坐標，再根據坐標四邊形A₁OB₁O₁面積=S_△AOB1-S△_AA1O1，列式計算即可得解；
（3）根據等積線的定義求出OA_n、OB_n，從而得到A_n、B_n的坐標，再利用待定系數法寫出AB_n、BA_n的解析式，聯立求解即可得到點O_n的坐標，再根據坐標四邊形面積=S_△AOBn-S_△AAnOn，列式計算即可得解．

解答：解：（1）令y=0，則2x+4=0，
解得，x=-2，
令x=0，則y=4，
∴點A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4，
由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=

22+42

=2

5

，
所以，周長為6+2

5

，
∵AB₁、BA₁是等積線，
∴A₁（-1，0），B₁（0，2），
∴等積線的函數表達式：y=4x+4，y=x+2；

（2）聯立

y=4x+4 y=x+2

，
解得

x=- 2 3 y= 4 3

，
∴O₁（-

2

3

，

4

3

），
坐標四邊形A₁OB₁O₁面積=S_△AOB1-S△_AA1O1，
=

1

2

×2×2-

1

2

×（2-1）×

4

3

，
=2-

2

3

，
=

4

3

；

（3）由題意得，OA_n=

2

2n

，OB_n=

4

2n

，
所以，等積線BA_n的解析式為：y=2ⁿ⁺¹x+4，
AB_n的解析式為：y=

1

2n+1

x+

4

2n

，
聯立

y=2n+1x+4 y= 1 2n+1 x+ 4 2n

解得

x=- 2 2n+1 y= 4 2n+1

，
∴點O_n（-

2

2n+1

，

4

2n+1

），
坐標四邊形面積=S_△AOBn-S_△AAnOn，
=

1

2

×2×

4

2n

-

1

2

×（2-

2

2n

）×

4

2n+1

，
=

4

2n

-

4(2n-1)

2n(2n+1)

，
=

8

2n(2n+1)

，
=

23-n

2n+1

．

點評：本題是一次函數綜合題型，主要利用了一次函數與坐標軸的交點坐標的求解，聯立兩函數解析式求交點坐標，讀懂題目信息，理解等積線是三角形的相應的中線是解題的關鍵．