Question

已知關于x的一元二次方程kx²＋（3k＋1）x＋2k＋1＝0.

（1）求證：該方程必有兩個實數(shù)根.

（2）若該方程只有整數(shù)根，求k的整數(shù)值

（3）在（2）的條件下，在平面直角坐標系中，若二次函數(shù)y＝（k＋1）x²＋3x＋m與x軸有兩個不同的交點A和B（A在B左側），并且滿足OA=2·OB，求m的非負整數(shù)值.

Answer 1

1）證明：△=

                     =≥0

∴該方程必有兩個實數(shù)根.         

（2）解：

         

∵方程只有整數(shù)根，

∴應為整數(shù)，即應為整數(shù)

∵k為整數(shù)

∴k=±1                            

（3）根據(jù)題意，k+1≠0，即k≠-1，            

∴k=1，此時， 二次函數(shù)為y＝2x²＋3x＋m

∵二次函數(shù)與x軸有兩個不同的交點A和B（A在B左側）

     ∴△=＞0,m＜，

     ∵m為非負整數(shù)

     ∴m=0,1                       

當m=0時，二次函數(shù)為y＝2x²＋3x，此時A（，0），B（0,0）

不滿足OA=2·OB.         

當m=1時，二次函數(shù)為y＝2x²＋3x+1，此時A（-1，0），B（,0）

滿足OA=2·OB.

∴k=1