Question

如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和B為圓心，大于

1

2

AB的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線(xiàn)MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，
（1）直線(xiàn)MN與線(xiàn)段AB的關(guān)系是怎樣的？為什么？
（2）若△ADC的周長(zhǎng)為10，AB=7，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）首先連接AM，AN，BM，BN，可得AN=BN，AM=BM，可得點(diǎn)N在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，點(diǎn)M在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，即可證得MN是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)；
（2）由線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，即可得AD=BD，又由△ADC的周長(zhǎng)為10，AB=7，即可求得△ABC的周長(zhǎng)．

解答：解：（1）MN垂直平分AB．…．（1分）
理由：連接AM，AN，BM，BN，
根據(jù)題意得：AN=BN，AM=BM，
∴點(diǎn)N在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，點(diǎn)M在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，
∴MN是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，
∴MN垂直平分AB．…．（6分）

（2）∵M(jìn)N是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)，
∴AD=BD，
∵△ADC的周長(zhǎng)為10，AB=7，
∴AC+AD+CD=10，
∴△ABC的周長(zhǎng)為：AB+AC+BC=AB+AC+CD+BD=AB+（AC+CD+AD）=10+7=17．…（9分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)與判定．此題難度適中，注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．