Question

如圖，矩形ABCD的4個頂點都在圓O上，將矩形ABCD繞點0按順時針方向旋轉α度，其中0°＜α≤90°，旋轉后的矩形落在弓形AD內的部分可能是三角形（如圖1）、直角梯形（如圖2）、矩形（如圖3）．已知AB=6，AD=8．

（1）如圖3，當α=______度時，旋轉后的矩形落在弓形內的部分呈矩形，此時該矩形的周長是______；
（2）如圖2，當旋轉后的矩形落在弓形內的部分是直角梯形時，設A₂D₂、B₂C₂分別與AD相交于點為E、F，求證：A₂F=DF，AE=B₂E；
（3）在旋轉過程中，設旋轉后的矩形落在弓形AD內的部分為三角形、直角梯形、矩形時所對應的周長分別是c_l、c₂、c₃，圓O的半徑為R，當c₁+c₂+c₃=5R時，求c₁的值；
（4）如圖1，設旋轉后A₁B₁、A₁D₁與AD分別相交于點M、N，當旋轉到△A₁MN正好是等腰三角形時，判斷圓O的直徑與△A₁MN周長的大小關系，并說明理由．

Answer 1

解：（1）當α=90°時，旋轉后的矩形落在弓形內的部分呈矩形，
此時該矩形的周長是6×2+（8-6）=14．

（2）①如圖，連接A₂D，
∵=，
∴∠ADA₂=∠DA₂D₂；
∴A₂F=DF．
②如圖，連接AB₂∵AD=B₂C₂，
∴=；
∴-=-；
∴=；
∴∠AB₂C₂=∠DAB₂；
∴AE=B₂E．

（3）由（1）（2）得C₂=8，C₃=8
∵AB=6，AD=8，∠A=90°，
∴R=5，
當C₁+C₂+C₃=5R時，C₁=9；

（4）如圖，設A₁B₁交AB于P，A₁M=a，AM=b，
∵△AMN正好是等腰三角形，∠A₁=90°，
∴∠A₁NM=∠A₁MN=∠AMP=45°；
∴MN==a，
∴AD=AM+MN+ND=b+a+a=8…（一）；
同（1）①可證AP=B₁P；
∴A₁B₁=A₁M+MP+PB₁=a+b+b=6…（二）；
（二）-（一）得：a-b=2；
∴a-b=，即A₁M-AM=；
∴△A₁MN的周長=AD+=8+；
而⊙O的直徑為10，
∴⊙O的直徑與△A₁MN的周長差為10-（8+）=2-＞0；
∴⊙O的直徑大于△A₁MN的周長．
分析：（1）根據(jù)矩形的性質可以得到旋轉角應是90°，根據(jù)矩形的長和寬即可計算得到的矩形的周長；
（2）根據(jù)旋轉得到對應點之間的弧相等，再根據(jù)等弧所對的圓周角相等和等角對等邊進行證明；
（3）根據(jù)矩形的外接圓的圓心即是其對角線的交點，得到矩形的外接圓的半徑等于其對角線的一半5，再根據(jù)（1）和（2）的思路，可以求得它們的周長分別是8，再進一步求得C₁的長；
（4）根據(jù)矩形的角都是直角，則該三角形應是等腰直角三角形．根據(jù)等腰直角三角形的性質和矩形的長和寬列方程求得三角形的周長，再進一步運用求差法比較其大�。�
點評：此題綜合運用了旋轉的性質和等腰三角形的判定和性質．綜合性強，難度較大．