Question

如圖，在直角坐標系中，一次函數(shù)y=x+2的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B，點C的坐標為（2，0），連接BC．
（1）判斷△ABC是不是等腰直角三角形，并說明理由；
（2）若點P在線段BC的延長線上運動（P不與點C重合），連結AP，作AP的垂直平分線交y軸于點E，垂足為D，分別連結EA，EP；
  ①當點P在運動時，∠AEP的度數(shù)是否變化？若變化，請說明理由；若不變，求出∠AEP的度數(shù)；
  ②若點P從點C出發(fā)，運動速度為每秒1個單位長度，設△AOE的面積為S，點P的運動時間為t秒，求S關于t的函數(shù)關系式．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）由一次函數(shù)y=x+2求出A、B兩點，再根據(jù)A、B、C的坐標求得OA=OB=OC=2，AC=4，進而求得∠ABO=∠BAO=∠CBO=∠BCO=45°，AB=BC=2

2

，∠ABC=90°，則可證△ABC為等腰直角三角形．
（2）連接EC，由于E在y軸上，即E在AC的垂直平分線上，所以EA=EC，故∠ECA=∠EAC，而E在AP的垂直平分線上，同理可求得EA=EP，即EC=EP=EA，那么∠ECP=∠EPC；由三角形的外角的性質可知∠ACP=∠ECA+∠ECP=135°，那么∠EAC、∠EPC的度數(shù)和也是135°，由此可求得∠AEP=360°-270°=90°，即∠AEP的度數(shù)不變．
（3）過E作EM⊥PC于M，由（2）知△ECP是等腰三角形，則CM=PM=

t

2

，在Rt△BEM中，∠EBM=45°，BM=2

2

+

t

2

，通過解直角三角形即可求得BE的長，從而可得到OE的長，到此，可根據(jù)三角形的面積公式表示出△ACE的面積，從而求得S的表達式，由此得解．

解答：解：（1）如圖1，由一次函數(shù)y=x+2，則A（-2，0），B（0，2），C（2，0）．
∴OA=OB=OC=2，AC=4，
∴△AOB和△COB是等腰直角三角形，
∴∠ABO=∠BAO=∠CBO=∠BCO=45°，
∴AB=BC=2

2

，∠ABC=90°
∴△ABC為等腰直角三角形．

（2）∠AEP的度數(shù)不變化；
如圖2，連接EC，
∵E點在y軸上，且A、C關于y軸對稱，
∴E點在線段AC的垂直平分線上，
即EA=EC；
∵E點在線段AP的垂直平分線上，則EA=EP，
∴EA=EP=EC，
∴∠EAC=∠ECA，∠ECP=∠EPC；
∵∠BCA=45°，即∠ACP=∠ECA+∠ECP=∠BAC+∠ABC=135°，
∴∠EAC+∠EPC=135°，即∠EAC+∠EPC+∠ACP=270°，
故∠AEP=360°-270°=90°，
∴∠AEP的度數(shù)不會發(fā)生變化，為定值90°．

（3）如圖3，過E作EM⊥BP于M、過A作AN⊥BP于N；
由（2）知：△CEP是等腰三角形，則有：
CM=MP=

1

2

CP=

t

2

；
∴BM=BC+CM=2

2

+

t

2

；
在Rt△BEM中，∠MBE=45°，則有：BE=

2

BM=

2

（2

2

+

t

2

）；
∴OE=BE-OB=

2

（2

2

+

t

2

）-2=2+

2

2

t；
∴S_△AEC=

1

2

AC•OE=

1

2

×4×（2+

2

2

t）=4+

2

t，
∴S=

1

2

S_△AEC=2+

2

2

t．
故S=

2

2

t+2．

點評：此題主要考查了一次函數(shù)與三角形的相關知識，涉及到：等腰直角三角形、等腰三角形的判定和性質，三角形面積的求法，解直角三角形等重要知識點．