Question

在平行四邊形ABCD中，點P是對角線AC上的一個動點（不與A、C重合），過P分別作直線交AD、BC于F、G，交AB、DC于F、H，連接EF和GH．
求證：EF∥GH．

Answer 1

分析：由相似三角形△AEP∽△CGP、△AFP∽△CPH的對應邊成比例和等量代換推知

EP

GP

=

FP

HP

．再由對頂角∠EPF=∠GPH證得△EFP∽△GHP，所以由該相似三角形的對應角相等推知內錯角∠FEP=∠HGP．

解答：證明：∵在平行四邊形ABCD中，AD∥CB，
∴∠AEP=∠CGP．
又∵∠APE=∠CPG，
∴△AEP∽△CGP，
∴

EP

GP

=

AP

CP

．
同理，△AFP∽△CPH，則

FP

HP

=

AP

CP

，
∴

EP

GP

=

FP

HP

．
又∠EPF=∠GPH，
∴△EFP∽△GHP，
∴∠FEP=∠HGP，
∴EF∥GH．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、平行四邊形的性質．解答該題的關鍵是推知△EFP∽△GHP．