Question

20．如圖，已知拋物線y=ax²-$\frac{3}{2}$x+c與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于C點，已知點A、B的坐標分別是A（-1，0）、B（4，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）在x軸上是否存在一點P，使△PBC是以BC為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于已知拋物線與x軸的交點，則可設(shè)交點式y(tǒng)=a（x+1）（x-4），化為一般式得到y(tǒng)=ax²-3ax-4a，則-3a=-$\frac{3}{2}$，然后求出a的值即可得到拋物線解析式；
（2）先求出C點坐標，再計算出BC的長，然后分類討論：分別以點B、C為圓心，BC為半徑畫弧，弧與x軸的交點即為P點，然后寫出對應(yīng)的P點坐標．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-4），
即y=ax²-3ax-4a，
所以-3a=-$\frac{3}{2}$，解得a=$\frac{1}{2}$，
所以拋物線解析式為y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2；
（2）存在．
當x=0時，y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2=-2，則C（0，-2），
所以BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
當CP=CB時，點P與點B關(guān)于y軸對稱，此時P點坐標為（-4，0）；
當BP=BC=2$\sqrt{5}$時，若點P在B點左側(cè)，P點坐標為（-2$\sqrt{5}$+4，0），若點P在B點右側(cè)，P點坐標為（2$\sqrt{5}$+4，0），
綜上所述，滿足條件的P點坐標為（-4，0）或（-2$\sqrt{5}$+4，0）或（2$\sqrt{5}$+4，0）．

點評 本題考查了拋物線與x軸的交點：從二次函數(shù)的交點式：y=a（x-x₁）（x-x₂）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）中可直接得到拋物線與x軸的交點坐標（x₁，0），（x₂，0）．解決（2）小問的關(guān)鍵是應(yīng)用分類討論的思想．