Question

4．如圖，在等邊△ABC中，AC=9cm，點(diǎn)D為AC邊上一點(diǎn)，且AD=6cm，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，作∠DEF=60°，與BC邊交于點(diǎn)F，設(shè)BF的長(zhǎng)為ycm．
（1）當(dāng)x為何值時(shí)，DE⊥AB；
（2）①求在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)過程中，y與x的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)x為何值時(shí)，y的值最大；
     ②從運(yùn)動(dòng)開始到結(jié)束，求出點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)路線的總長(zhǎng)．
（3）在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在某一時(shí)刻x，此時(shí)將△ADE沿著直線DE折疊，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′恰好落在線段BC上？若存在，求出此時(shí)x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）構(gòu)造直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案即可；
（2）①由∠ADE+∠AED=120°和∠BEF+∠AED=120°推出∠ADE=∠BEF，證出△ADE∽△BEF，得到$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AE}{BF}$，代入即可，
    ②得出函數(shù)關(guān)系式后，可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E自運(yùn)動(dòng)開始到停止運(yùn)動(dòng)所走的路線長(zhǎng)度是函數(shù)的最大值的二倍，據(jù)此即可得解；
（3）根據(jù)條件可知△DCA′∽△A′BE，再根據(jù)三邊之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系與x的取值范圍求解，即可得出．

解答 解：（1）如圖1
當(dāng)DE⊥AB時(shí)，
在Rt△AED中，AD=6，∠A=60°，
AE=AD•cosA=6×cos60°=3，
∴當(dāng)x=3時(shí)，DE⊥AB；
（2）①∵△ABC是等邊三角形，
∴在△ABC中，∠A=60°，AB=AC=BC=9，
∴∠ADE+∠AED=120°；
又∵∠DEF=60°，
∴∠BEF+∠AED=120°，
∴∠ADE=∠BEF；
∴△ADE∽△BEF，
∴$\frac{AD}{BE}$=$\frac{AE}{BF}$，
$\frac{6}{9-x}$=$\frac{x}{y}$，∴y=-$\frac{1}{6}$x²+$\frac{3}{2}$x=-$\frac{1}{6}$（x-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
當(dāng)x=$\frac{9}{2}$時(shí)，y_最大=$\frac{27}{8}$，
②由①知，y=$-\frac{1}{6}$x²+$\frac{3}{2}$x，
當(dāng)x=0時(shí)，y=0，當(dāng)x=9時(shí)，y=0，
即：點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到離點(diǎn)B最遠(yuǎn)處時(shí)，BF=$\frac{27}{8}$，此后再回到B點(diǎn)，
∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)路線的總長(zhǎng)為：$\frac{27}{8}×2$=$\frac{27}{4}$（cm）；
（3）存在，
∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC=9cm，
∠A=∠B=∠C=60°，
如圖2
當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′落在線段BC上時(shí)，
DA′=DA=6，A′E=AE=x，∠DA′E=∠A=60°，
∴∠DA′C+∠EA′B=120°，
又∠CDA′+∠DA′C=120°，
∴∠CDA′=∠EA′B，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△DCA′∽△A′BE，
∴$\frac{DA′}{A′E}=\frac{DC}{A′B}=\frac{CA′}{BE}$，
∴$\frac{6}{x}=\frac{3}{A′B}$，
解得：A′B=$\frac{x}{2}$，
∴$\frac{6}{x}=\frac{9-\frac{x}{2}}{9-x}$，
整理得：x²-30x+108=0，
解得：x₁=$15+3\sqrt{13}$（舍），${x}_{2}=15-3\sqrt{13}$，
∴當(dāng)x=$15-3\sqrt{13}$時(shí)，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′恰好落在線段BC上．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了三角形相似的判定定理與性質(zhì)定理，以及用二次函數(shù)求最值的問題，靈活運(yùn)用相似三角形的知識(shí)是解題的關(guān)鍵，在第（2）問中要注意是要求點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)路線的總長(zhǎng)，注意總結(jié)．