Question

10．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，點D是BC邊上的一動點（不與B、C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE交AB于點E，且tan∠α=$\frac{3}{4}$，有以下的結論：①△DBE∽△ACD；②△ADE∽△ACD；③△BDE為直角三角形時，BD為8或$\frac{7}{2}$；④0＜BE≤5，其中正確的結論是①③（填入正確結論的序號）

Answer 1

分析 ①根據(jù)有兩組對應角相等的三角形相似即可證明．
②根據(jù)只有一組對應角相等且的兩三角形不一定相似，即可證得．
③分兩種情況討論，通過三角形相似即可求得．
④依據(jù)相似三角形對應邊成比例即可求得．

解答 解：①∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠ADE=∠B
∴∠ADC=180°-α-∠BDE，
∵∠BED=180°-α-∠BDE，
∴∠BED=∠ADC
∴△DBE∽△ACD，故①正確；

②∵∠B=∠C，
∴∠C=∠ADE，
不能得到△ADE∽△ACD；
故②錯誤，

③當∠AED=90°時，由①可知：△ADE∽△ABD，
∴∠ADB=∠AED，
∵∠AED=90°，
∴∠ADB=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴∠ADE=∠B=α且cosα=$\frac{4}{5}$，AB=10，
BD=8．
當∠BDE=90°時，易△BDE∽△CAD，
∵∠BDE=90°，
∴∠CAD=90°，
∵∠B=α且cosα=$\frac{4}{5}$．AB=10，
∴cosC=$\frac{AC}{CD}$=$\frac{4}{5}$，
∴CD=$\frac{25}{2}$，
∴BD=BC-CD=$\frac{7}{2}$；
故③正確．

④過A作AG⊥BC于G，∵cosα=$\frac{4}{5}$，
∴BG=8，
∴BC=16，易證得△BDE∽△CAD，
設BD=y，BE=x，
∴$\frac{AB}{DE}$=$\frac{CD}{BE}$，
∴$\frac{10}{16-y}$=$\frac{y}{x}$，
整理得：y²-16y+64=64-10x，
即（y-8）²=64-10x，
∴0＜x≤6.4．
故④錯誤．
故答案為：①③．

點評 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及利用三角函數(shù)求邊長等．