Question

20．已知：拋物線y=x²-（m+4）x+m+2與x軸交于兩點(diǎn)A（a，0），B（b，0）（a＜b），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)A，OB為直徑作⊙O₁和⊙O₂在y軸的哪一側(cè)？簡(jiǎn)要說明理由，并指明兩圓的位置關(guān)系．

Answer 1

分析 首先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系利用m表示出a+b和ab的值，根據(jù)這兩個(gè)式子的符號(hào)討論a和b的符號(hào)，從而確定兩個(gè)圓的位置．

解答 解：∵拋物線y=x²-（m+4）x+m+2與x軸交于兩點(diǎn)A（a，0），B（b，0）（a＜b），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a+b=m+4}\\{ab=m+2}\end{array}\right.$，
∴△=（m+4）²-4（m+2）
=m²+4m+8
=（m+2）²+4，
∵（m+2）²≥0，
∴（m+2）²+4＞0，
當(dāng)m＞-2時(shí)，a和b同是正數(shù)，則兩圓在y軸的右側(cè)，切內(nèi)切于原點(diǎn)；
當(dāng)-4≤m＜-2時(shí)，a+b≥0，ab＜0，則a＜0，b＞0，則兩圓在y軸的兩側(cè)，切外切于原點(diǎn)；
當(dāng)m＜-4時(shí)，a和b都是負(fù)數(shù)，則兩圓在y軸的左側(cè)，且外切于原點(diǎn)；
當(dāng)m=-2時(shí)，無意義．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)于x軸的交點(diǎn)的確定，二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)根，即可滿足根與系數(shù)的關(guān)系，以及根的判別式．