Question

【題目】如圖1，已知拋物線過點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及其頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）設(shè)點(diǎn)D是x軸上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）如圖2．拋物線與y軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P是該拋物線上位于第二象限的點(diǎn)，線段PA交BE于點(diǎn)M，交y軸于點(diǎn)N，和的面積分別為，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1），頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為-（-1,4）；（2）；（3）的最大值為.

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法，將A，B的坐標(biāo)代入即可求得二次函數(shù)的解析式；

（2）設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，在中，可求得，推出，可證，利用相似三角形的性質(zhì)可求出AD的長度，進(jìn)一步可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，由對(duì)稱性可直接求出另一種情況；

（3）設(shè)代入，求出直線PA的解析式，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，由，可推出，再用含a的代數(shù)式表示出來，最終可用函數(shù)的思想來求出其最大值．

解：（1）由題意把點(diǎn)代入，

得，，

解得，

∴此拋物線解析式為：，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為

（2）∵拋物線頂點(diǎn)，

∴拋物線對(duì)稱軸為直線，

設(shè)拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)H，

則，

在中，，

，

∴當(dāng)時(shí)，

如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，

，

，

，

，

，

當(dāng)點(diǎn)D在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，點(diǎn)D關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)D'的坐標(biāo)為，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為或；

（3）設(shè)，

將代入，

得，，

解得，，

當(dāng)時(shí)，，

如圖2，

，

由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，有最大值，

和的面積分別為m、n，

的最大值為．