Question

如圖，在正方形ABCD中，點M是BC邊上的任一點，連接AM并將線段AM繞M順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN，在CD邊上取點P使CP=BM，連接NP，BP．
（1）求證：四邊形BMNP是平行四邊形；
（2）線段MN與CD交于點Q，連接AQ，若△MCQ∽△AMQ，則BM與MC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=BC，∠ABC=∠C，然后利用“邊角邊”證明△ABM和△BCP全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AM=BP，∠BAM=∠CBP，再求出AM⊥BP，從而得到MN∥BP，然后根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明即可；
（2）根據(jù)同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ，然后求出△ABM和△MCQ相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得

AB

MC

=

AM

MQ

，再求出△AMQ∽△ABM，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例可得

AB

BM

=

AM

MQ

，從而得到

AB

MC

=

AB

BM

，即可得解．

解答：（1）證明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠C，
在△ABM和△BCP中，

AB=BC ∠ABC=∠C CP=BM

，
∴△ABM≌△BCP（SAS），
∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，
∵∠BAM+∠AMB=90°，
∴∠CBP+∠AMB=90°，
∴AM⊥BP，
∵AM并將線段AM繞M順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段MN，
∴AM⊥MN，且AM=MN，
∴MN∥BP，
∴四邊形BMNP是平行四邊形；

（2）解：BM=MC．
理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，
∴∠BAM=∠CMQ，
又∵∠ABC=∠C=90°，
∴△ABM∽△MCQ，
∴

AB

MC

=

AM

MQ

，
∵△MCQ∽△AMQ，
∴△AMQ∽△ABM，
∴

AB

BM

=

AM

MQ

，
∴

AB

MC

=

AB

BM

，
∴BM=MC．

點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，（1）求出兩個三角形全等是解題的關(guān)鍵，（2）根據(jù)相似于同一個三角形的兩個三角形相似求出△AMQ∽△ABM是解題的關(guān)鍵．