Question

9．觀察下列各式：
1=0+1
2+3+4=1+8
5+6+7+8+9=8+27
10+11+12+12+14+15+16=27+64．
你能做出什么一般性的猜想？能證明你的猜想嗎？

Answer 1

分析 首先根據(jù)每個(gè)算式左邊的加數(shù)個(gè)數(shù)分別是1、3、5、7、…，可得第n個(gè)算式左邊的加數(shù)個(gè)數(shù)是2n-1個(gè)；然后根據(jù)1=（1-1）²+1，2=（2-1）²+1，5=（3-1）²+1，…，可得第n個(gè)算式左邊的第一個(gè)加數(shù)是（n-1）²+1；最后根據(jù)0=0³，1=1³，8=2³，27=3³，…，判斷出第n個(gè)算式右邊的兩個(gè)加數(shù)分別是（n-1）³、n³，據(jù)此總結(jié)出一般性的猜想，再根據(jù)等差數(shù)列的求和公式以及立方和公式證明即可．

解答 解：因?yàn)?=0+1
2+3+4=1+8
5+6+7+8+9=8+27
10+11+12+12+14+15+16=27+64
…，
所以做出的一般性的猜想為：
[（n-1）²+1]+[（n-1）²+2]+[（n-1）²+3]+[（n-1）²+4]+…+n²=（n-1）³+n³；
證明：因?yàn)閇（n-1）²+1]+[（n-1）²+2]+[（n-1）²+3]+[（n-1）²+4]+…+n²
=[（n-1）²+1+n²]×（2n-1）÷2
=2（n²-n+1）×（2n-1）÷2
=（n²-n+1）×（2n-1）
=[（n-1）+n]×[（n-1）²-n（n-1）+n²]
=（n-1）³+n³
所以[（n-1）²+1]+[（n-1）²+2]+[（n-1）²+3]+[（n-1）²+4]+…+n²=（n-1）³+n³成立．

點(diǎn)評(píng) （1）此題主要考查了探尋數(shù)字規(guī)律問(wèn)題，注意觀察總結(jié)規(guī)律，并能正確的應(yīng)用規(guī)律，解答此題的關(guān)鍵是判斷出：[（n-1）²+1]+[（n-1）²+2]+[（n-1）²+3]+[（n-1）²+4]+…+n²=（n-1）³+n³．
（2）此題還考查了等差數(shù)列的求和的方法，以及立方和公式的應(yīng)用，要熟練掌握．