Question

16．拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A（-1，0），B（3，0），交y軸的負半軸于C，頂點為D．下列結(jié)論：
①2a+b=0；②2c＜3b；③當m≠1時，a+b＜am²+bm；④當△ABD是等腰直角三角形時，則a=$\frac{1}{2}$；⑤當△ABC是等腰三角形時，a的值有3個．
其中正確的有（　�。�

• A． ①③④
• B． ①②④
• C． ①③⑤
• D． ③④⑤

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，二次函數(shù)與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0），可知二次函數(shù)的對稱軸為x=$\frac{（-1）+3}{2}$=1，即$-\frac{2a}=1$，可得2a與b的關系；將A、B兩點代入可得c、b的關系；函數(shù)開口向下，x=1時取得最小值，則m≠1，可判斷③；根據(jù)圖象AD=BD，頂點坐標，判斷④；由圖象知BC≠AC，從而可以判斷⑤．

解答 解：∵二次函數(shù)與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0）．
∴二次函數(shù)的對稱軸為x=$\frac{（-1）+3}{2}$=1，即$-\frac{2a}=1$．
∴b=-2a．
∴2a+b=0．（故①正確）
∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c與x軸交于點A（-1，0）、B（3，0）．
∴a-b+c=0，9a+3b+c=0．
又∵b=-2a．
∴3b=-6a，a-（-2a）+c=0．
∴3b=-6a，2c=-6a．
∴2c=3b．（故②錯誤）
∵拋物線開口向上，對稱軸是x=1．
∴x=1時，二次函數(shù)有最小值．
∴m≠1時，a+b+c＜am²+bm+c．
即a+b＜am²+bm．（故③正確）
∵AD=BD，AB=4，△ABD是等腰直角三角形．
∴AD²+BD²=4²．
解得，AD²=8．
設點D坐標為（1，y）．
則[1-（-1）]²+y²=AD²．
解得y=±2．
∵點D在x軸下方．
∴點D為（1，-2）．
∵二次函數(shù)的頂點D為（1，-2），過點A（-1，0）．
設二次函數(shù)解析式為y=a（x-1）²-2．
∴0=a（-1-1）²-2．
解得a=$\frac{1}{2}$．（故④正確）
由圖象可得，AC≠BC．
故△ABC是等腰三角形時，a的值有2個．（故⑤錯誤）
故①③④正確，②⑤錯誤．
故選項A正確，選項B錯誤，選項C錯誤，選項D錯誤．
故選A．

點評 本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，關鍵是找出圖象中和題目中的有關信息，來判斷問題中結(jié)論是否正確．