Question

16．若二次函數(shù)y=a₁x²+b₁x+c₁的圖象記為C₁，其頂點(diǎn)為A；二次函數(shù)y=a₂x²+b₂x+c₂的圖象記為C₂，其頂點(diǎn)為B．且滿足點(diǎn)A在C₂上，點(diǎn)B在C₁上，則稱這兩個(gè)二次函數(shù)互為“伴侶二次函數(shù)“
（1）一個(gè)二次函數(shù)的“伴侶二次函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)
（2）①求二次函數(shù)y=x²+4x+3與x軸的交點(diǎn)；
     ②求以上述交點(diǎn)為頂點(diǎn)的二次函數(shù)y=x²+4x+3的“伴侶二次函數(shù)”．
（3）若二次函數(shù)y₁=a₁x²+b₁x+c₁與其伴侶二次函數(shù)y₂=a₂x²+b₂x+c₂的頂點(diǎn)不重合．則a₁與a₂之間是否存在某種數(shù)量關(guān)系？若存在．請(qǐng)寫(xiě)出探究過(guò)程．若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)“伴侶二次函數(shù)”的定義，可得答案；
（2）①解方程x²+4x+3=0，可得函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可得答案；②根據(jù)“伴侶二次函數(shù)”，頂點(diǎn)坐標(biāo)，可求解；
（3）根據(jù)“伴侶二次函數(shù)”的頂點(diǎn)在對(duì)方的圖象上，列出二元一次方程組，根據(jù)題意并且解方程組，可得答案．

解答 解：（1）一個(gè)二次函數(shù)的“伴侶二次函數(shù)”有無(wú)數(shù)個(gè)．
故答案為無(wú)數(shù)；          
                                                
（2）①令y=0，即x²+4x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=-3，
所以二次函數(shù)y=x²+4x+3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），（-1，0）；

②∵y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，-1）．
設(shè)以（-3，0）為頂點(diǎn)且經(jīng)過(guò)（-2，-1）的拋物線的函數(shù)關(guān)系式為
y=a（x+3）²，
將x=-2，y=-1代入y=a（x+3）²，解得a=-1．
∴二次函數(shù)y=x²+4x+3的一個(gè)“伴侶二次函數(shù)”為y=-（x+3）²=-x²-6x-9，
同理可求以（-1，0）為頂點(diǎn)且經(jīng)過(guò)（-2，-1）的拋物線的函數(shù)關(guān)系式．
即二次函數(shù)y=x²+4x+3的另一個(gè)“伴侶二次函數(shù)”為y=-（x+1）²=-x²-2x-1；
                                       
（3）a₁=-a₂．理由如下：
設(shè)y=a₁（x+m）²+n，其頂點(diǎn)為（-m，n），y=a₂（x+h）²+k，其頂點(diǎn)為（-h，k），
∵二次函數(shù)y₁=a₁x²+b₁x+c₁與其伴侶二次函數(shù)y₂=a₂x²+b₂x+c₂的頂點(diǎn)不重合，
∴m=h時(shí)n≠k，或n=k時(shí)m≠h，或m≠h且n≠k．
根據(jù)“伴侶二次函數(shù)”定義可得
$\left\{\begin{array}{l}{k={a}_{1}（-h+m）^{2}+n}\\{n={a}_{2}（-m+h）^{2}+k}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)m=h時(shí)n=k，n=k時(shí)m=h，
∴m≠h且n≠k，
∵a₁（-h+m）²=-a₂（-m+h）²，m≠h，
∴a₁=-a₂．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，理解“伴侶二次函數(shù)”的頂點(diǎn)在對(duì)方的圖象上是解題關(guān)鍵．