Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F在對(duì)角線(xiàn)BD上，BE＝DF．請(qǐng)你判斷：AE與CF的關(guān)系，并加以證明

Answer 1

【答案】AE與CF相等且平行；或相等且共線(xiàn)．理由詳見(jiàn)解析

【解析】

AE與CF的關(guān)系分為數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系兩種情況．由平行四邊形的性質(zhì)得出AD=CD，∠ABE=∠CDF，結(jié)合BE=DF可證明△ABE≌△CDF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出結(jié)論．

解：AE與CF相等且平行；或相等且共線(xiàn)．理由如下：

（1）數(shù)量關(guān)系：AE＝CF．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS）．

∴AE＝CF．

（2）當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)F不在BD的中點(diǎn)時(shí)，AE∥FC．

∵△ABE≌△CDF，

∴∠AEB＝∠CFD，

∴∠AED＝∠CFB，

∴AE∥CF．

（3）當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)F在BD的中點(diǎn)時(shí)，AE與CF共線(xiàn)．