Question

某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展了一次活動(dòng)，過(guò)程如下：

設(shè)∠BAC=（0°＜＜90°）.現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線AB，AC上.

活動(dòng)一：

  如圖甲所示，從點(diǎn)A₁開(kāi)始，依次向右擺放小棒，使小棒與小棒在端點(diǎn)處互相垂直. （A₁A₂為第1根小棒）

數(shù)學(xué)思考：

（1）小棒能無(wú)限擺下去嗎？答：          .(填“能”或“不能”)

（2）設(shè)AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1.

①=_________度；

②若記小棒A_2n-1A2n的長(zhǎng)度為a_n（n為正整數(shù)，如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，…）， 求出此時(shí)a₂，a₃的值，并直接寫(xiě)出a_n（用含n的式子表示）.

活動(dòng)二：

如圖乙所示，從點(diǎn)A₁開(kāi)始，用等長(zhǎng)的小棒依次向右擺放，其中A₁A₂為第一根小棒，且A₁A₂=AA₁.

數(shù)學(xué)思考：

（3）若已經(jīng)擺放了3根小棒，則₁ =_________，₂=________， ₃=________；（用含 的式子表示）

（4）若只能擺放4根小棒，求的范圍.

Answer 1

解: （１）能．                             

      （２）① 22.5°.                        

            ②方法一

∵A A₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，

              ∴A₁A₃=，AA₃=.

              又∵A₂A₃⊥A₃A₄ ，∴A₁A₂∥A₃A₄.

同理：A₃A₄∥A₅A₆，

∴∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅，

∴AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆

              ∴a₂=A₃A₄=AA₃=，

                a₃=AA₃+ A₃A₅=a₂+ A₃A₅.     

∵A₃A₅=a₂，

              ∴a₃=A₅A₆=AA₅=. 

方法二

∵A A₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，

              ∴A₁A₃=，AA₃=.

              又∵A₂A₃⊥A₃A₄ ，∴A₁A₂∥A₃A₄.

同理：A₃A₄∥A₅A₆.

∴∠A₂A₃A₄=∠A₄A₅A₆=90°，∠A₂A₄A₃=∠A₄ A₆A₅，

              ∴△A₂A₃A₄∽△A₄A₅A₆，

              ∴，∴a₃=.  

                                 …

（３）                          

                                     

                                   

（４）由題意得：

       ∴.