Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+bx-2與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，且A（-1，0）．
（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式及頂點D的坐標(biāo)；
（2）若點M是拋物線對稱軸上的一個動點，求CM+AM的最小值．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點,軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）把A的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可求出b的值，進(jìn)而得到拋物線的解析式，利用配方法即可求出頂點D的坐標(biāo)；
（2）首先求出C，A，B的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的對稱性可知AM=BM．所以AM+CM=BM+CM≥BC=2

5

．

解答：解：（1）∵點A（-1，0）在拋物線y=

1

2

x²+bx-2上，
∴b=-

3

2

，
∴拋物線解析式y(tǒng)=

1

2

x²-

3

2

x-2，
∵拋物線y=

1

2

x²-

3

2

x-2=

1

2

（x-

3

2

）²-

25

8

，
∴頂點D的坐標(biāo)（

3

2

，-

25

8

）；
（2）當(dāng)x=0時，y=-2，∴C（0，-2）
∴OC=2，
當(dāng)y=0時，0=

1

2

x²-

3

2

x-2，
解得：x=4或-1，
∴B（4，0），
∴OB=4，
由拋物線的性質(zhì)可知：點A和B是對稱點，
∴AM=BM，
∴AM+CM=BM+CM≥BC=2

5

．
∴CM+AM的最小值是2

5

．

點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及拋物線和拋物線的交點問題，利用拋物線的對稱性得到AM+CM=BM+CM≥BC=2

5

是解題的關(guān)鍵．